几何压轴题中的知识迁移——2023年武汉市九年级数学4月调考第23题

几何压轴题中的知识迁移

2023年武汉市九年级数学4月调考第23题

武汉市的几何命题代表了省内最高水准，对几何元素的选取、关联、运用非常巧妙，其中常见的题型是探索发现-迁移拓展，即由一个较为简单的几何模型，引出解决问题的通法，再利用这个通法，解决新的问题，这和新课标上对学生解题能力的要求是一致的，也和我们课堂上对学生的学习要求相同。

篇幅限制，关于迁移的理论不在此赘述，只聊在试题中的知识迁移，我们一般会在第1小题给出特殊状态下的几何关联，然后在第2小题中针对这种关联进行思维发散，而发散的方向就是最后一小题的解题方向。

题目

探索发现，如图1，E，F，H是正方形ABCD边上的点，连接BE，CF交于点G，连接AG，GH，CE=DF.

(1)判断BE与CF的位置关系，并证明你的结论；

(2)若CE=CH，求证：∠BAG=∠CHG；

迁移拓展(3)，如图2，E，F是菱形ABCD边AB，AD上的点，连接DE，点G在DE上，连接AG，FG，CG，∠AGD=∠BAD，AF=AE，DF=GF，CD=10，CG=6，直接写出DF的长及cos∠ADC的值.

解析：

01

(1)这是教材上的习题难度，利用正方形ABCD性质及CE=DF条件，可以证明△CDF≌△BCE，得到∠DCF=∠CBE，由于∠DCF+∠BCG=90°，所以∠CBE+∠BCG=90°，即∠BGC=90°，所以BE⊥CF；

02

(2)方法一：

增加条件CE=CH后，首先找到△CEG∽△BCG，得比例线段CE:CG=BC:BG，将其中CE替换成CH，BC替换成AB，得CH:CG=AB:BG，再加上∠GCH和∠CEG都与∠DCF互余，可证明∠GCH=∠CEG，其中∠CEG与∠ABG是一对内错角，所以∠CEG=∠ABG，从而证明了∠ABG=∠GCH，得到△ABG∽△HCG，如下图：

所以得到∠BAG=∠CHG；

方法二：

由CE=CH再联系CE=DF，得到DF=CH，所以连接FH之后，可以得到矩形ABHF，如下图：

显然A、B、H、F四点共圆，再由∠BAF=90°，∠BGF=90°(前一问结论)可得∠BAF+∠BGF=90°，因此A、B、G、F四点也共圆，留意到这两组共圆的四点中，有三点A、B、F是重复的，说明它们在同一个圆上，即A、B、H、G也四点共圆，不妨作出这个圆，如下图：

此时对于圆内接四边形ABHG而言，∠CHG是其一个外角，它的内对角为∠BAG，所以∠BAG=∠CHG；

03

(3)由∠AGD=∠BAD，再加上公共角∠ADG=∠EAD，可证△ADG∽△EDA，得比例线段DG:DA=AG:EA，∠FAG=∠CDG，将比例式中的DA替换成DC，EA替换成AF，得DG:DC=AG:AF，于是可证明△AFG∽△DCG，得到FG:CG=AF:DC，所以DF:6=(10-DF):10，解得DF=15/4；

通常情况下，求余弦值，需要将这个锐角放在某个直角三角形中，由这个思路出发，作FM⊥CD于点M，构造出Rt△DFM，再由DF=FG，可再作将DF绕点D旋转至FG位置，则Rt△DFM也随之旋转，作DN⊥CG，交CG延长线于点N，再连接CF，如下图：

现在我们来寻找这两个三角形全等的条件，已经具备了DF=GF，∠DMF=∠GNF=90°，还差一个；

在四边形CMFN中，∠DCG+∠MFN=180°，而在前面的相似三角形中，得到∠DCG=∠AFG，其中∠AFG+∠DFG=180°，由等角的补角相等，可得∠MFN=∠DFG，它们的公共部分是∠MFG，所以得到∠DFM=∠GFN，补齐全等的最后一块拼图，得到△DFM≌△GFN；

我们能证明FM=FN，DM=NG，从而说明CF是∠DCG的角平分线，由对称性可得CM=CN，而CM=CD-DM，CN=CG+NG，于是10-DM=6+NG，由DM=NG，可求出DM=2，现在回到Rt△DFM中，cos∠ADC=DM/DF=8/15.

解题反思

本题第2小题中的全等三角形，和第3小题中的相似三角形，其证明过程有异曲同工之妙，利用相等的线段进行等量转换，从而得到新的全等或相似，同时无论全等三角形或相似三角形，均可看作绕其顶点旋转得到，这也是武汉几何题的特色之一，多使用旋转变换，至于为什么如此“喜好”，个人猜测是因为旋转变换对于学生几何直观有较高的要求，同时极容易与圆的知识进行关联，满足其作为几何压轴题的身份。

第3小题中的余弦值求解，初看的确摸不着头脑，不知从何处下手，此时需要仔细分析题目条件，从最基本的“需要直角三角形”入手，结合旋转变换，构造出需要的图形，并求出相应的线段长，与前面求DF值过程中得到的相似三角形巧妙关联了起来。

题中的知识迁移，主要是指解题思维的迁移，用已经想到的方法，融入新的元素，解决新的问题，这对平时课堂上学生知识迁移的过程完全一致，从这个意义上讲，教学导向非常明显，即课堂教学中，教师应注重学生对解题方法的掌握，这里没有套路可言，引导学生从分析题目条件出发，每个条件思考其发散点，这些发散点关联到下一个条件或结论，从而顺藤摸瓜，探究出需要的结论。

在全国各地几何压轴题中，类似的考查方式比比皆是，尤其是在临近中考的冲刺阶段，如何进行压轴题的复习课教学，一直是值得研究的课题，学生解一道几何压轴题，其思维量是十分巨大的，需要良好的数学思维习惯，作为数学教师，在课堂上培养学生解题能力，更需要研究从优秀试题中感悟题目结构、命题思想、教学导向等，从而服务于课堂教学，让学生从中受益。

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