量子史话（12）索末菲引入角量子数和磁量子数，发现精细结构常数

量子史（12）索末菲介绍了角量子数和磁量子数，并发现了精细结构常数。玻尔量化原子模型的验证。

在玻尔的原子模型中，有一个量子数叫做轨道量子数，也叫主量子数，用字母n表示，那么为什么电子的轨道是不连续的呢？波尔说，电子绕原子核运动的角动量是量子化的，它只能是约化普朗克常数h的整数倍。

所以电子有第一能级称为基态，第二、第三、第四等能级称为激发态。电子吸收足够的能量后，就会像幽灵一样跃迁到激发态。至于激发态，则取决于电子吸收了多少能量。

处于激发态的电子，会自发跃迁回较低的能态，并以电磁波的形式释放出两个能级之间的能量差。

通过以上假设，玻尔的原子模型解释了氢原子的发射光谱，解释了巴尔末公式有效的原因。关于巴尔末公式，大家可以看看第十集的视频。

在氢原子的发射光谱中，在可见光波段有一系列发射线，称为巴尔末系统，分别位于红、绿、蓝、紫区域。这四条线是由电子产生的。它们在从第三、第四、第五、第六激发态跃迁到第二激发态时被释放出来，

但后来发现，氢原子光谱的巴尔末系统不是简单的四线，如果多一条精确的光谱仪是用来分裂氢原子的光谱的，如果没有，拿放大镜看巴尔末系列的氢原子，你会发现每条谱线其实不是一条，而是两条，还有一条细小的裂痕。

之前之所以没有发现，是因为两条线的波长相差很小，而且两条线距离很近。一眼看去，好像是一个。这一发现被称为氢原子光谱的精细结构。

玻尔的原子模型无法解释这个问题。不久，慕尼黑大学的索末菲给玻尔写了一封信，信中的内容完美地解决了这个问题。模型中又增加了一个量子数：叫做角量子数，也可以叫做轨道形状量子数，比较容易理解。

此时48岁的ArnoldSommerfeld已经过了理论物理学家的黄金时代，但他领导下的慕尼黑大学物理系将很快成为量子力学的研究中心，因为他即将我们迎来了两个学生，一个叫泡利，一个叫海森堡。另外两个量子力学研究中心分别是波恩领导的哥廷根大学物理系和即将成立的玻尔研究所。这三个地方被称为量子力学的金三角。

索末菲最初是学数学的，后来转向理论物理。他与伟大的数学家希尔伯特、闵可夫斯基是同乡。那里数学氛围浓厚，特长是数学家。

从两人对索末菲的态度，就可以看出他有多好。第一个是爱因斯坦。一般情况下，爱因斯坦不会轻易去欣赏任何人，也不会主动恭维任何人，在上学的时候，闵可夫斯基气呼呼地称爱因斯坦为“懒狗”。

但是爱因斯坦在写给索末菲的信中说，如果我在慕尼黑，我一定会去你们这里学习数学和物理知识。那是1908年，爱因斯坦还在专利局工作。你看，不管真假，爱因斯坦从来没有对任何人说过这样的话。

第二个人是泡利。泡利是一个讨厌天空，讨厌空气的人。他基本上讨厌所有他能讨厌的人。人们给他起了个绰号：上帝的鞭子。但只要看到索末菲，不管在什么场合，泡利都会立马变得谨慎起来，对索末菲肃然起敬。这或许就是个性的魅力吧。

回到正题，索末菲从氢原子光谱的精细结构中得到了一个关键信息。线条是分裂的，说明它是由两个不同能级的电子向较低能级跃迁产生的，但裂缝不大，说明两个电子的能级之间的能量差很小.

在玻尔的原子模型中，电子以圆形轨道围绕原子核旋转。索末菲想，电子能不能绕原子核做椭圆运动呢？

他立即计算出，如果电子在椭圆轨道上绕原子核旋转，其速度将不同于在圆形轨道上的电子。如果考虑电子运动的相对论效应，那么在椭圆轨道上的电子就会越多，质量越大，速度就越高，因此两个轨道之间的能量差很小。

这个能量差正好对应两条谱线的能量差。如果电子跃迁到圆形轨道，又跃迁到椭圆轨道，由于能级不同，释放的电磁辐射波长也略有不同。.

也就是说，索末菲量化了轨道的形状，用字母l表示。过去，玻尔的轨道是圆形的。当主量子数n为1、2、3等时，电子只有一个圆形轨道。

现在把轨道的形状量化，那么电子就有多种选择，l的值是0到n-1之间的整数，比如n=1时，l只能取一个值，就是0，那么氢原子只有一个圆形轨道。

当n=2时，则l可以取0和1，这里有两个可能的量子态轨道，所以谱线分裂就解决了。n=3，l可以是0、1、2，n=4，l可以是0、1、2、3，即主量子数n决定了角量子数l的值。

当l=0时，轨道是圆形的，称为玻尔轨道，所有大于0的轨道都是不同的椭圆，称为索末菲轨道，这样额外的量子态可以解释精细结构的氢原子的光谱。

然而，在索末菲推下的公式中，出现了一个神奇的常数。称为精细结构常数α，是电子在玻尔第一轨道上的线速度与真空中的光速之比。这是一个无量纲常数，即没有单位。该值约为1/137。

公式就是你在图片中看到的，所以你可以得到一个大概的概念。其中，e为电子电荷，Epsilon(ε)为真空介电常数，c为光速，h为约化普朗克常数，即h/2Π。

精细结构常数乍一看是其他一些物理常数的组合，似乎没有什么特别的意义，但是随着量子力学的发展，它变得越来越神奇。

例如，改进的经典电动力学，称为量子电动力学，用于描述带电粒子之间的电磁相互作用。人们发现，任何电磁现象都与这个代表电磁相互作用强度的精细结构常数有关。

后来，人们发展了量子色动力学，用来描述原子核中的强力，并发现了一个类似的精细结构常数，决定了强相互作用的强弱。

后来人们统一了弱力和电磁力。当然，电弱相互作用中有精细的结构常数。所以现在怀疑引力也跟代表引力强弱的精细结构常数有关。

更奇怪的是，天文学家在分析遥远类星体的光谱后发现，120亿年前的精细结构常数比现在的值还要小，这表明精细结构常数可能不是常数。增长缓慢，变化率很小，每年1/30万亿。由于精细结构常数代表的是基本力的强弱，如果这个常数发生变化，那么构成万物并作用于万物的力也在发生变化。

你可能会想，精细结构常数公式中有一些常数，为什么精细结构常数变大了，这只能说明有些常数不是常数，而是变量。

环顾四周，人们怀疑C，即光速，可能是精细结构常数发生变化的原因。这些都是目前的猜测。如果C不是常数，那么爱因斯坦会哭的。

说的有点扯远了，言归正传，继续说索末菲的原子模型。

现在索末菲在玻尔的原子模型中加入了一个轨道形状的量子数，也叫角量子数。除了主量子数n，现在还有一个量子数l，但这还不够，因为变换后的原子模型仍然不能解决下面两个问题。

一个是塞曼效应，一个是斯塔克效应。塞曼效应说的是，当对原子施加强磁场时，原来的单条谱线会一分为三，撤掉磁场后又恢复正常。.加上电场也有同样的效果，这就是斯特克效应。

在解决了谱线的精细结构之后，索末菲已经对这个问题了如指掌。既然谱线可以分裂，就说明还有一个量子数没有被发现。

先想一想，电磁场会和什么相互作用？对于带电粒子，当电子绕原子核旋转时，会产生磁矩。这个磁矩会与电磁场相互作用，使电子的轨道方向发生偏转。

以前电子的轨道是平的，现在电子的轨道可能和这个平面有夹角，这样电子就有更多的能态可以选择。那么一个电子可以选择多少个倾斜轨道呢？

从谱线分裂的数量来看，没有无限多的轨道可供电子选择，否则谱线会分裂成无数条，这说明轨道的空间取向也是量子化的。

这样，以前扁平的原子模型就变成了球壳结构。一个电子可以选择多少个轨道方向？

Sommerfeld用ml表示轨道方向的量子数，也叫磁量子数。它的值与角量子数l有关。ml可以是-l和l之间的整数，例如当l=0时，ml可以取值0，当l等于1时，ml可以取值-1、0、1，当l为2时,ml可以取值-2,-1,0,1,2。

可见角量子数l和磁量子数ml都与主量子数n的取值有关。当n=1时，则l=0，ml=0，这就是氢原子电子处于基态时，具有量子态。此时的电子轨道是圆形的，轨道没有空间方向性，原子呈球对称。

当n=2时，则l=0,1,ml=-1,0,1。此时电子不仅有椭圆轨道，而且有两个轨道方向，所以原子呈现哑铃形形状。

当n=3时，则l=0,1,2,ml=-2,-1,0,1,2，这是两个椭圆轨道，四个轨道方向，原子形状呈现四重瓣。

随着磁量子数的增加，电子的可选能态再次增加，可以解释磁场下的光谱分裂塞曼效应和电场下的斯塔克效应。

经过Sommerfeld的改进，目前的量子化模型中存在三个量子数，即主量子数n、角量子数l和磁量子数ml。

所以现在的原子模型更名为Darwin-Sommerfeld原子模型。原子模型的成功又一次让玻尔名声大噪。1916年5月，哥本哈根大学直接为玻尔设立理论物理学教授一职。

曾经和卢瑟福在一起的玻尔，肯定不会满足于此。他也想像他的老师一样繁荣。1917年，玻尔向学校建议，是否可以建一个理论物理研究所，学术管理应该是一个整体，但是金钱和土地的问题，还是要玻尔自己想办法解决。

这对玻尔来说是小事。只要能用钱解决的问题，对波尔来说都不是问题。研究所在第一次世界大战结束后不久就开始兴建，地点就在一个公园旁边。1921年3月3日，玻尔研究所正式成立。

未来研究所吸引了众多青年才俊前来学习。当时有条条大路通“飘布塘路17号”的说法。这是玻尔研究所的地址。

在波尔研究所建设期间，卢瑟福还写信给玻尔，说曼彻斯特现在有一个理论物理学教授的职位。你来这里，我们一起工作。显然玻尔此时不能去，卢瑟福德见波尔不来，于1919年前往英国剑桥，接替了恩师汤姆森的职位。因此，卢瑟福成为卡文迪许实验室的第四任主任。

玻尔的原子模型现在看来已经取得了阶段性的胜利，但是很快人们又发现了一个新的问题，叫做反常的塞曼效应。上面说的是正常的塞曼效应，现在还有一个异常的。

是说在弱磁场下，氢原子的单条谱线不再分裂成3条，而是分裂成4条或5条，这是非常反常的，所以叫反常塞曼效应.解决这个问题的人不再是这些老家伙，而是一个2000年后1900年出生的年轻人，他的名字叫泡利。关于泡利我会在后面详细说。

如果你充分理解了玻尔-索末菲原子模型，你会有一种感觉，量子化的原子模型其实是经典物理学与量子理论结合后诞生的一个怪胎。

玻尔在经典物理学的基础上解释了原子模型。比如我们还是把电子看成一个小球，它有经典物理学的角动量、经典物理学的轨道、速度等等。

但是原子模型处处的量子化与经典物理学是不相容的，所以现在的量子理论是没有灵魂的，也就是说没有适合它的基础理论。

如果我们能从更基本的公理假设出发一步步推导出电子的量子化，那么这个理论就有了坚实的基础。

比如玻尔说电子有量子化的轨道和能级，那么它的理论依据是什么？这是我们将在下一个视频中回答的问题。

至此，本系列的旧量子理论基本讲完了，只剩下德布罗意的波粒二象性、泡利不相容原理和量子自旋。

旧的量子理论讲完了，我们就进入量子力学的阶段了。