动力学平均场: 1. 复杂的量子多体系统和简单的无穷维极限

编者按：应读者的要求，知社重发动力学平均场三十年发展史的系列文章，敬请关注！

2021年，恰逢动力学平均场理论建立30年，D. Vollhardt教授从他在德国奥格斯堡大学的主席教授职位上退休。30年为这段成功的多体理论发展做了一个完美的注脚，它记载了很多人勤奋的付出，记载了理论和计算方法取得的惊人进步。因为这段非凡的历史，如今的我们多了一个更为可靠的处理强关联电子体系的手段、有了一个可以从头计算强关联电子材料的工具、也使得处理顺磁态成为可能。

1989年D. Vollhardt和W. Metzner试图理解固体微观层次上电子的动力学行为。他们的出发点是一个多电子的相互作用问题。为了方便理解，我们不得不从更根本的固体构成说起。就像我们所知道的那样，现实生活中的固体是由非常非常多的原子组成的，这些原子像小球一样以某种方式堆积在一起。原子由原子核与电子构成，原子核是一个胖子，它身形庞大，比较懒惰，待在自己的位置上不太想动；电子是灵活的瘦子，它总是试图跑来跑去。固体中的基本相互作用就由这些原子核和电子的动能及相互作用势能构成，是一个非常复杂的多粒子体系。在大家一筹莫展，不知道该如何处理这样复杂的多体系统时，Max Born和Robert Oppenheimer注意到，原子核和电子的质量相差1800多倍，因此可以近似的认为原子核的动能可以忽略不计 [1]。

从而将多粒子的哈密顿量简化为只与电子有关的多电子哈密顿量:

围观群众看到这样的一个包含了电子动能，电子与原子核相互作用势能，电子-电子相互作用势能，及原子核相互作用外势场的多电子哈密顿量后，无不感到惊叹，发出阵阵的感慨，然后摊开双手纷纷表示，“还是不会求解！”。

1

单电子近似

主要是大家经过讨论后意识到，在量子力学课上我们只学习了如何求解单电子的薛定谔方程，其他一概不会（量子力学老师表示不背锅）。因此，大家强烈要求把考题难度降低，不然评教不及格！为了进一步简化上述的多电子问题，以Walter Kohn为首的前辈们将上述多电子哈密顿量简化为在有效势场中运动的单电子问题，这才平息了大家的情绪，使得固体体系的多粒子问题得以近似求解。这就是大家今天所熟知的密度泛函理论[2, 3]，Walter Kohn先生也因此获得了1998年的诺贝尔化学奖。这一理论催生出的第一性原理计算已经成为研究固体材料性质非常重要的研究手段，也直接使得计算物理这一门学科地位变得越来越重要。

一路从多粒子问题，转化为多电子问题，再进而转化成单电子问题的过程，其实就是前言中提到的求解多体问题的常用思路。我们面对的世界很复杂，然后我们知道的又很少。要想取得进步，最直接的办法就是把不会的问题转化成会的问题，这是一个简单的方法论问题。虽然过程复杂，但是哲学向来仅仅是指明方向的，具体的工作还需要人们的创造性和胆识。虽然我这里介绍的很简单，但是密度泛函理论的建立和发展是一个系统工程，很多优秀的物理学家都做出了重要的贡献，因为不是本文的重点，我们这里就不展开聊了。但有一点需要强调，将多电子问题转化为单电子问题的核心是将电子-电子相互作用项中的关联部分用一个近似的单电子密度泛函来代替。在相互作用比较弱的情况下，例如对于金属和部分半导体，这是一个很好的近似。但是当电子-电子相互作用很强的时候，这个方法就显得不合适了。这也正是D. Vollhardt和W. Metzner思考的问题的出发点，他们考虑的是一个具有强电子关联的多电子体系。类似密度泛函理论这样的单电子近似是不适合的。

Photo from http://theor.jinr.ru/~kuzemsky/jhbio.html

为了更清晰的理解D. Vollhardt和W. Metzner要处理的问题，我们把电子运动和相互作用的哈密度量放到格点上。你也可以理解成电子运动的空间被打上了格子，电子的运动被描述为在格点间跳来跳去。电子之间遵从Pauli不相容原理，即相同的两个电子不能占据在同一个态上。电子跑来跑去有动能，电子间又存在库仑排斥力。英国人John Hubbard思考了库仑力中最大的一项，即当两个具有相反自旋的电子占据在同一个空间格点上的库仑力。他忽略了其他情况下的电子排斥，得到了一个更为简化的模型，今天我们称之为Hubbard模型[4]。这个模型使用之广泛，影响之深远，已经超出了一个简单的模型的概念。人们在谈到电子强关联的时候，Hubbard模型必然会出现在脑海里。如今逐渐走入寻常百姓家的强关联电子材料计算就是完全以Hubbard模型为基础的。这个模型使用之频繁，以至于现在很多人在使用Hubbard模型的时候，已经不再引用他老人家的文章了，不知道他是该高兴还是该难过…

单带Hubbard模型：

不幸的是，即使做了Hubbard这样的简化，我们还是不会求解这个Hubbard哈密顿量，人们发出阵阵的感叹，然后继续纷纷表示不会求解！因为电子的动能和势能不对易，很难找到一个参数空间将两者同时对角化。围绕这个模型，发展出了很多的解析和数值计算工具。这里我们先按下不提，等到后面用到的时候，再展开介绍。

2

孤立原子极限

Hubbard模型这个多电子关联问题，对我们来说仍然过于复杂，大部分时候都是找不到严格解的。但是有一个严格极限，我们可以知道全部本征态。这个极限就是独立格点情形。考虑前述图示中的二维平方格子，如果每个格点都是孤立的，与其他格点割裂开来的，那么动能就失去了意义。格点本身占据的情形，就自然的是剩余势能项的本征态。知道了本征态，统计物理学里面学到的配分函数、自由能就自然全部都知道了。进而所有感兴趣的物理量也就都可以解了（热统老师在这里敲黑板了…）。

由于这样的格点其实是孤立于其他格点存在的，虽然严格的计入了电子间的相互作用，但是电子动能（也可以说起动量）的信息是缺失的。因此，这种关联效应是局域的。物理学上，在单电子层次上表征电子关联的物理量叫做电子自能（也叫顶角函数，后面我们会介绍），在这个图像下它是完全局域的。更准确的说，它是一个仅仅与能量有关，而与动量无关的函数。这种孤立格点的情形，因为完全没有电子跃迁的过程，电子动能效应就完全不存在了，这显然仅仅适合电子关联及其强烈的极限情况。

3

无穷维极限

介绍到这里，我们终于可以很好的理解D. Vollhardt和W. Metzner所思考问题的价值了。既然孤立格点的情形完全忽略了电子动能的效应，缺点不言而喻，但好处是问题变得可解了。那么我们能不能既保留局域可解的特性，同时又能有动能的效应呢？他们大胆的考虑了另外一个极端情况，即格点非但不是孤立的，周围还被无穷多个格点包围--无穷维极限。

为了理解在无穷维极限下的变化，我们还是从表征电子关联的单电子自能说起。这里因为不再像孤立原子极限那样，我们可以直接找到体系的本征态，没有办法利用热统老师教的办法做计算。这里我们用在凝聚态多体理论中非常重要的微扰展开方法处理，并借助费曼图形技术简化计算。费曼图就是将微扰展开中的每一项都用图形表示的一种技术，“属于半物理半美术范畴”，使得我们可以不写公式，就可以找到计算结果，省却了很多记忆上的负担。简单而言，自能微扰展开会给出连接空间中两个格点i, j的各种连接方法，随着展开阶数1，2，…的增加，两个格点i, j间的连接次数也相应的增加。上面例图的左下角给出了一个二阶自能费曼图的例子，i, j两点之间有三条线连接，每一条线代表了一次电子跃迁过程。

扩展到无穷维极限后，电子可以跑的途径多了很多，动能就变得远大于势能了，这显然改变了动势能的相对比例。因此我们需要把跃迁幅度乘上一个因子来使得动能仍然和有限维度下一个数量级。当我们把和i点相关的全部j点求和掉的时候，会得到因子，费曼图中三条连接i和j的线又给出了三个，因此当 时，除非i和j是同一个点，否则这些因子乘积为零，对自能没有贡献[5]。从这样的分析可以看到，只要i和j之间的自能连接线多余2条（对应于费曼图型展开，展开阶数大于1），有贡献的图形就只有局域图形了，这个结论适用于所有展开阶数，并且是严格的。

请原谅我上面不得不用一点细节来表述无穷维极限的物理后果，因为这绝对是重点，今年必考！…今年不考，明年也一定会考…简言之，在无穷维极限下，所有的自能图都塌缩成局域图形了。和孤立原子极限一样，表征电子关联效应的自能函数变得仅仅与能量有关，而与动量无关。

同时需要强调一点的是，虽然在无穷维极限下，电子的多体关联效应也变得局域了。这似乎和前面讲过的孤立原子极限有点像，但是它们实际上是完全不同的。在孤立原子极限下，电子是完全没有动能的，所有的物理过程都是被电子关联决定的。而在无穷维极限下，电子是可以跃迁离开格点，只是最终一定要回到原来的位置。可以说这样的电子是看尽了世间繁华，然后又回归初心，回到原来的起点；而孤立原子极限下的电子，是完全没有离开过故乡的，因此两者的见识完全不同。用比较物理的说法讲，在无穷维极限下的电子自能虽然也是局域的，但是它里面包含了电子动能的贡献。你可以理解成电子跃迁被积分掉了，但是它的效应留在了局域自能里。这代表了一种更为先进的方法，最直接的结果是，该极限使得人们可以真正的计算出由电子关联导致的金属-绝缘体相变，即Mott转变。

动力学平均场理论正是孕育于此…

（未完待续）