等积转换破解反比例函数填空压轴题

等积转换破解反比例函数填空压轴题

在九年级下学期反比例函数章节中，我们学习反比例函数图象性质的时候，印象最深的莫过于双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，所围成的矩形面积为|k|，由此衍生出一系列与面积有关的习题。这一类习题，难点多在于对面积割补的方法掌握上，因此，认真观察图形，从面积角度去理解图形间的关联，是破解此类压轴题的关键。

题目

如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=k/x(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E，若S△ABE=3/2，则k=____________.

解析：

0 1

思路一

S△ABE=S△CBE-S△ABC，由于AD⊥x轴，平行四边形ABCD中BC∥AD，故可得到BC∥y轴，在这组平行线间，我们进行等积转换，延长BA交y轴于点F，连接CF，则S△CBE=S△CBF，如下图：

至此S△ABE=S△CBF-S△ABC，对于△ABC，它的面积等于平行四边形ABCD的一半，于是我们再延长CD交y轴于点G，得到更大的平行四边形BCGF，如下图：

此时△CBF的面积等于平行四边形BCGF面积的一半，△ABC的面积等于平行四边形ABCD面积的一半，而平行四边形BCGF的面积减掉平行四边形ABCD的面积，恰好等于平行四边形ADGF的面积，显然它的面积就是|k|，推导如下：

所以求得k=3；

0 2

思路二

BC与x轴交于点F，连接OD、DF，S△ABE=S△CBE-S△ABC，我们注意到△CBE底为BC，高为OF，同时△ODF底为OF，高为AD，且AD=BC，因此可得S△CBE=S△ODF，如下图：

S△ABE=S△ODF-S△ABC，而△ABC与△ADF等底等高，故S△ABE=S△ODF-S△ADF=S△AOD=|k|/2，同样可求得k=3.

解题反思

在反比例函数中，双曲线上的点向坐标轴作垂线后围成的矩形面积，可由对角线进一步分成两个三角形，而三角形的面积变换就非常多了，等底等高均可转换，而等积转换时，互换底高，平行线同底等高都是非常常见的解题思路，追溯这些解法的源头，一个来源是面积计算公式，另一个来源是平移，无论哪一种解法，最终都回归到了以点D为顶点的三角形或矩形面积。

在以反比例函数为背景的填空压轴题中，这一类题型很多，这就要求我们在平时教学中，对于基本的等积转换给予足够的重视。反比例函数图象这一重要的几何性质，不同于一次函数和二次函数，对数形结合要求很高，不仅要对常见的图形割补熟悉，更要深入理解面积公式的意义。