高考竞赛专题1：集合概念及集合上的运算

一、知识、方法、技能

高中一年级数学（上）（试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合.

在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号。

由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目。

二、赛题精讲

（一）集合中待定元素的确定

充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题。

【点评】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之。

【点评】这里的错因是将A、B的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域。

【点评】上述两题均为1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法。

（二）集合之间的基本关系

充分应用集合之间的基本关系（即子、交、并、补），往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例。

【点评】解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解。

【点评】此题中集合B中元素x满足“|x|<3”时，会出现什么样的结果，读者试解之。

【点评】此类函数方程问题，应注意将之转化为一般方程来解之.

【点评】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解.

【点评】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之.

（三）有限集合中元素的个数

【例9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有21个优秀，物理总评19人优秀，化学总评有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有7人，化学和数学都优秀的有8人，试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围（该班有5名学生没有任一科是优秀）.

【思路分析】应首先确定集合，以便进行计算.

【详解】设A={数学总评优秀的学生}，B={物理总评优秀的学生}，C={化学总评优秀的学生}.

故仅数学单科优秀的学生在4~11之间，仅物理单科优秀的学生数在3~10之间，仅化学单科优秀的学生在5~12人之间.

【点评】根据题意，设计这些具有单一性质的集合，列出已知数据，并把问题用集合中元素数目的符号准确地提出来，在此基础上引用有关运算公式计算，这是解本题这类计数问题的一般过程。

三、针对性练习题