美赛中评价类模型：优劣解距离法(TOPSIS 法)

TOPSIS 法(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)，简称优劣解距离法，该方法是一种常用的综合评价方法，其能充分 利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。前面文章中提到的层次分析法存在一些局限性：

(1) 评价的决策层不能太多，即n不能太大，否则判断矩阵和一致矩阵差异会很大,平均随机一致性指标RI的表格中n最多为15

(2) 层次分析法不适用于决策层中指标的数据已知的情况

TOPSIS 法的基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得 到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响， 并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案 和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评 价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

总结下来，TOPSIS 法可以分为 3 步，

1. 原始矩阵正向化

2. 正向矩阵标准化

3. 计算得分并归一化

1. 原始矩阵正向化

首先要知晓常见的四种指标，如下图所示，将原始矩阵正向化，就是要将所有指 标类型统一转化为极大型指标。

1) 极小型指标转化为极大型指标 极小型指标转换为极大型指标的公式：max-x

(2) 中间型指标转化为极大型指标 {xi}是一组中间型指标序列，且最佳的数值为 xbest，正向化的公式为

(3) 区间型指标转化为极大型指标 {xi}是一组中间型指标序列，且最佳的区间为[a,b]，那么正向化的公式如下

2. 正向化矩阵标准化

标准化的目的是消除不同指标量纲的影响，标准化的方法有很多种，下面介绍一种常用的情况：

假设有 n 个要评价的对象，m 个评价指标构成的正向化矩阵如下：

那么，对其标准化的矩阵记为 Z，Z 中的每个元素=X 中的每个元素/该元素所在 列的元素的平方和的开方：

3. 计算得分并归一化

假设有 n 个要评价的对象，m 个评价指标的标准化矩阵：

定义最大值为

定义最小值为

定义第 i(i=1,2,…,n)个评价对象与最大值的距离，w 为该评价对象的权重

定义第 i(i=1,2,…,n)个评价对象与最小值的距离

那么，我们可以计算得出第 i(i=1,2,…,n)个评价对象未归一化的得分：

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