听说尺规作图能激发孩子对几何的兴趣,这位爸爸也想试试。的确,效果不错,孩子果然对圆规直尺产生了兴趣,不断地向爸爸提出新的问题,很快,爸爸就卡壳了。
一道看似不难的题让爸爸苦思冥想良久,只好发信息让我们讲讲。来一起琢磨琢磨,是什么问题让爸爸也难住了呢?
如图,两个圆相切,一条直线也与它们同时相切,要求做一个圆,同时与这两个圆和直线相切,只能使用尺规作图。
观察一番,直观感觉要做的那个圆应该在三者相夹的区域。这位爸爸从两圆圆心向各自的切点作了两条垂直辅助线,作了连接两圆圆心的辅助线后就一愁莫展了。
首先要表扬一下小朋友,上学的时候导师经常说,“大科学家提问题,小科学家忙着解决问题,科技民工帮着完善解决方案”。能提出好问题,指明研究方向才是真的了不起,这位小朋友偏打正着,问出了两千多年前阿波罗尼奥斯提出的问题。
古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的问题(Apollonius' Problem)是一道有名的几何题:“平面上给定三个圆周,如何用尺规作图构造出和这三个已知圆都相切的圆。
当其中一个圆退化成一条直线时,阿波罗尼奥斯问题就变成了我们今天要解决的尺规作图问题。因为要涉及的定理和预备知识较多,我们今天先把作图方法告诉大家,也帮忙维护一下那位爸爸的光辉形象,后续的文章我们接着探讨原理。
需要学会做,已知L1和L2两条线段,做一线段长度为√(L1•L2),如下图,等会我们要用到这个技巧,不清楚的友友可以到我们主页翻看以前的文章。
Step 2
首先过两个圆心,向各自切点做垂线,切点为D和E。
Step 3
在垂线AD上构造一条线段,要求该线段长度为2√(AD•DE),作图痕迹看虚线部分。构造出来的线段DI,标记I点,等会用。
Step 4
在另一方向,也构造一个线段,要求该线段长度为2√(BE•DE),作图痕迹看虚线部分。构造出来的线段ME,标记M点,等会用。
Step 5
连接MI两点,与切线DE交于N。过N点做切线DE的垂线,我们要做的切圆的圆心就在该线上。
Step 6
以D为圆心,DN为半径做圆,与AD相交于K。连接KE,与过N的垂线交于P点。
Step7
取线段PN的中点Q,以Q为圆心,以QN为半径做圆,该圆与圆A、圆B以及切线DE相切,作图完毕。
各位家长,带着孩子动手试试,是不是这样的?如果还有孩子深究,为什么这样作图就能成,怎么证明,就需要再学习一些拓展知识了,比如用笛卡尔定理等。
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