上帝可以用数学证明吗

一些数学家寻求上帝存在的逻辑证明。

勒内·笛卡尔

谁会想到上帝是一篇关于数学的文章的合适主题？不用担心，下面的讨论仍然牢固地建立在一个可理解的科学框架内。但是，上帝是否可以被数学证明的问题很有趣。事实上，几个世纪以来，几位数学家一再试图证明神的存在。它们的范围从布莱斯·帕斯卡和勒内·笛卡尔（17 世纪）到戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（18 世纪）再到库尔特·哥德尔（20 世纪），他们关于这个主题的著作最近才在 1987 年出版。而且可能是最令人惊奇的事情：在 2013 年首次发布的预印本研究中，算法证明向导检查了哥德尔的逻辑推理链，发现它无疑是正确的。数学现在终于反驳了所有无神论者的主张吗？

正如您可能已经怀疑的那样，事实并非如此。哥德尔确实能够证明，他定义为神圣的事物的存在必然来自某些假设。但这些假设是否合理可能会受到质疑。例如，如果我假设所有的猫都是三色的并且知道三色的猫几乎都是雌性的，那么我可以得出结论：几乎所有的猫都是雌性的。即使逻辑推理是正确的，这当然不成立。因为所有猫都是三色的假设是错误的。如果有人对我们环境中可观察到的事物（例如猫）发表声明，则可以通过科学研究来验证它们。但如果是神性存在的证明，事情就复杂了一些。

莱布尼茨、笛卡尔和哥德尔依赖于上帝的本体论证明，他们通过逻辑推理从神存在的可能性中推断出神性存在的存在，而帕斯卡（1623-1662）选择了一种稍微不同的方法：他从今天可能被视为博弈论的观点并发展了所谓的帕斯卡赌注。

为此，他考虑了两种可能性。首先，上帝存在。其次，上帝不存在。然后他研究了死后相信或不相信上帝的后果。如果有一个神，并且一个人相信它，那么一个人最终会进入天堂；否则下地狱。另一方面，如果没有上帝，则不会发生其他任何事情——无论你是否信教。帕斯卡认为，最好的策略是相信上帝。充其量，你最终会进入天堂；在最坏的情况下，什么都不会发生。另一方面，如果你不相信，那么在最坏的情况下，你可能会下地狱。

帕斯卡的想法是可以理解的——但它们指的是宗教著作中的场景，并不代表存在优越存在的证据。他们只说应该加入基于机会主义的信仰。

处理存在本质的本体论方法更有说服力，即使它们很可能不会改变无神论者的思想。坎特伯雷的神学家和哲学家安塞尔姆（1033-1109）在上个千年之初提出了他的想法。他将上帝描述为一个无法想象的更伟大的存在。但是，如果上帝不存在，那么人们可以想象某种更伟大的东西：即，一种无法想象的存在。但像上帝一样，这个存在也存在并表现出终极伟大的属性。这当然是荒谬的：没有什么比人们所能想象的最伟大的事情更伟大了。因此，上帝不存在的假设一定是错误的。

笛卡尔（1596-1650年）重新审视了这个想法，花了几个世纪的时间。据说他不知道安塞尔姆的著作，他为完美存在的神圣存在提供了几乎相同的论据。莱布尼茨（1646-1716）几十年后接手了这项工作并发现了它的错误：他认为，笛卡尔没有证明某些实体的“完美属性”，从三角形到上帝，是相容的。莱布尼茨继续争辩说，完美不能被适当地研究。因此，永远无法反驳完美的属性结合在一个存在中。因此，神性存在的可能性必须是真实的。因此，根据安瑟伦和笛卡尔的论点，必然得出上帝存在。

然而，从数学的角度来看，这些思想实验只有通过哥德尔的努力才真正变得严肃起来。这并不令人惊讶：这位科学家在 25 岁时就已经将这个话题彻底颠覆了，他证明数学总是包含无法证明的真实陈述。在这样做时，他利用了逻辑。同样的逻辑也使他能够证明上帝的存在。看看这 12 个步骤，这些步骤由一组公理 (Ax)、定理 (Th) 和定义 (Df) 组成。

Kurt Gödel 的正式证明。

乍一看，它们似乎很神秘，但可以一步一步地通过它们来遵循哥德尔的思想。 他从一个公理开始——一个假设，换句话说：如果 φ 具有属性 P 并且从 φ 总是跟随 ψ，那么 ψ 也具有属性 P。为简单起见，我们可以假设 P 代表“正”。 例如：如果一种水果很好吃，是一种积极的属性，那么吃起来也很有趣。 因此，吃它的乐趣也是一种积极的属性。

第二个公理进一步为 P 设置了一个框架。如果某物的反面是积极的，那么“某物”一定是消极的。因此，哥德尔将世界分为黑白两部分：要么是好，要么是坏。例如，如果健康是好的，那么疾病必然是坏的。

有了这两个前提，哥德尔可以推导出他的第一个定理：如果 φ 是一个正属性，那么就有可能存在一个具有属性 φ 的 x。也就是说，积极的事物是可能存在的。

现在数学家第一次转向神性存在的定义：如果 x 拥有所有积极的属性 φ，它就是神性的。第二个公理确保以这种方式定义的上帝不能具有负面特征（否则会产生矛盾）。

第三条公理指出，神性是积极的特征。这一点确实没有争议，因为神性结合了所有积极的特征。

第二个定理现在变得更加具体：通过结合第三个公理（神性是肯定的）和第一个定理（有可能存在肯定性的东西），可以存在一个神圣的存在 x。

哥德尔现在的目标是在以下步骤中表明，上帝必然存在于已经制定的框架中。为此，他在第二个定义中引入了对象 x 的“本质”φ，这是一个决定所有其他特征的特征属性。一个说明性的例子是“像小狗一样，如果某物具有这种特性，它必然是可爱、蓬松和笨拙的。

第四个公理一开始似乎并不太令人兴奋。它只是说，如果某件事是积极的，那么它总是积极的——无论时间、情况或地点如何。例如，无论是在德国海德堡还是布宜诺斯艾利斯，无论是白天还是晚上，像小狗一样品尝美味总是积极向上的。

哥德尔现在可以制定第三个定理：如果一个存在 x 是神性的，那么神性是它的本质属性。这是有道理的，因为如果某物是神圣的，它就拥有所有积极的特征——因此 x 的属性是固定的。

下一步与特定存在的存在有关。如果在某处至少有一个存在 y 拥有属性 φ，这是 x 的本质属性，那么 x 也存在。也就是说，如果有什么东西像小狗，那么小狗也一定存在。

根据第五公理，存在是一种积极的属性。我想大多数人都会同意这一点。

从这一点现在可以得出结论，上帝存在是因为这个存在物拥有所有积极的属性，并且存在是积极的。

事实证明，哥德尔的逻辑推论都是正确的——甚至计算机也能够证明这一点。然而，这些推论也招致批评。除了公理，当然可以质疑（为什么一个世界应该被分为“善”和“恶”？），哥德尔没有提供更多关于积极属性是什么的细节。

确实，通过定义和公理，可以用数学方法描述集合 P：

1. 如果一个属性属于该集合，则不包括其否定。该套装是独立的。

2. 集合的本质只有集合的特征这一事实本身就是集合的一个元素。集合总是具有相同的元素——与情况无关。在这种情况下，情况是包含该集合的数学模型。

3. 存在是集合的一部分。

4. 如果 φ 是集合的一部分，那么以 φ 为集合的本质的性质也包含在集合中。

但这一切并不能保证这一套是独一无二的。可能有多个满足要求的集合。例如，正如逻辑学家所表明的那样，根据哥德尔的定义，有可能构建出超过 700 个本质上不同的神圣实体。

这并没有解决一个（或多个）神性存在的最终问题。数学是否真的是回答这个问题的正确方法本身就是值得怀疑的——即使思考它是非常令人兴奋的。

本文最初出现在Spektrum der Wissenschaft并经许可转载。

Manon Bischoff是 Spektrum der Wissenschaft 的编辑。她主要涵盖数学和计算机科学，并撰写了专栏 “神话般的数学世界” 。Bischoff 在德国达姆施塔特工业大学学习物理学，然后在德国美因茨约翰内斯古腾堡大学担任研究助理。