2022菲尔兹奖得主做了啥——玛丽娜·维亚佐夫斯卡

继续介绍2022年菲尔兹奖得主之一，来自乌克兰的女数学家：玛丽娜·维亚佐夫斯卡。她也是历史上第二位获得菲尔兹奖的女性。

关于维亚佐夫斯卡的另外一个特别之处是，大老李早在2019年的一篇中，就提到过她的名字，那篇文章是关于“开普勒猜想”。

开普勒猜想本身是一个很有意思的问题，它问：用大小一样的球体，怎样填充空间，可以使填充密度最大？虽然，凭直觉，大多数人都能给出这样一个堆球的方案：

但为了证明这个模式是最大填充模式，数学家愣是化了400年时间。并且仍然需要借助电脑验证，终于证明了开普勒猜想，现在可以称为“开普勒-黑尔斯定理”，这是在2014年左右完成的。

但事情还没完，开普勒猜想只是讨论3维空间内的填充，那么更高维度下的填充情况会是怎么样呢？在2014年，人们对三维以上的情况，没有任何确切答案，只知道在某些高维度下，有一个填充密度的上限和一些由已知的填充方案构成的下限。

在2016年3月14日，π节这一天，维亚佐夫斯卡在数学论文预印本网站上，上传了一篇论文，标题为：八维空间下的球体填充问题。这篇论文里，维亚佐夫斯卡宣告，八维空间下的球体最大填充密度是： 。

衡量一篇论文质量好坏的一个标准，是其内容是不是容易被理解，或者说，其他人能不能快速理解论文的方法和思路。人们发现维亚佐夫斯卡的证明是相当好懂，容易扩展。就在一星期之后，有几位研究者扩展了维亚佐夫斯卡的方法，又发表了一篇论文，把结论推广到了24维。

你可能会有一个疑问，为什么是8维和24维，这两个数字？4、5、6、7维以及8到24之间这些数字为什么被跳过了？这是数学里一个有意思的地方，并不是数字越小，问题就越简单。因为8维和24维空间的一个特殊性质，使得它们的最大填充密度可以先被解决。

一方面数学家通过一种称为“线性规划”（linear promgramming）的方法，得到了各个维度下的，球体填充密度上限：

另一方面，也有数学家在各个维度下，尝试构造密度最大的填充方案，也得到了一组数字。这组数字就是最终填充密度的下限。

（上图：已知最佳填充方案下的各维度密度。有意思的是，24维比23维的密度还大，这是目前仅有的，维度上升后，填充密度也上升的情况。）

如果把维度作为坐标横轴，填充密度作为坐标纵轴，将以上填充密度上下限作为曲线画出来，可以得到这张图：

一个引人瞩目的特点是，在8维和24维上，两条曲线似乎相交了。那是否意味着，8维和24维的已知填充方案就是仅有最大填充密度的方案？

但这里，有一个是数学家必须处理的问题，那就是用线性规划得出的上限，是一个近似值。尽管只要增加计算时间，它的有效数字可以不断地增加，但终究是一个近似值。比如，8维情况下，它的近似值是0.253669508。而8维已知最佳填充方案的填充密度是无理数 ，它大概是0.25366950790，它与线性规划所得的近似值，直到小数点后至少8位都是吻合的。

这种情况，如果是物理实验，大概就算解决了，因为有效数字够多了。但问题是，这是一个数学题，有效数字再多也不管用。不能保证也许在小数点后的第1万位，线性规划所得数字会大一点呢？在数学里，不能用逻辑证明，用再多的有效数字去验证，仍然是不管用的。

那么问题是，为什么在8维和24维的情况下，可以那么容易得找到一种填充方案，直接逼近理论上限呢？这里需要介绍一下“格”(lattice)的概念，格子的格，有时也翻译成“晶格”。

“格”是最早由高斯所定义的一个概念。在二维情况下还是比较容易想象，它就是一些平行四边形在平面上密铺所得的形状。

最简单的就是坐标平面上的整数点所构成的格，称为“正方形格”。

如果是像蜂窝那样的六边形，和它的中心点所构成的格，称为“六边形格”。

格与球体填充问题有什么关系呢？其实一种格，就对应了一种可能的球体的填充方式。方法是以格中的每个点为圆心，以格的边长的一半为半径作圆，就得到了平面上的一种周期性填充模式。

对正方形格来说，填充的结果就是类似围棋盘上放满棋子的情况。但这种模式不是平面上的最大密度填充模式。

平面上的最大填充模式对应于六边形的格，就是一个圆的周围有六个外切圆这种模式。

不管怎样，“格”与球体的填充问题是密切相关的。一种周期性的填充，总是对应一种格。数学家发现，如果某种“格”，符合三个条件的话，那么这种周期性的填充密度就能达到非常大。这三个条件是：

“整格”：如果一个格中我们取某个点为原点，其他格点视为原点到这个点的向量。那么一个格中任意两个向量的内积是整数，那就叫整格。比如对向量v,w：

则内积是一个数值：

向量对自身的内积就是其模长的平方。所以，整格中，所有向量长度的平方是整数。请自行验证，正方形格和六边形格都是整格。

第二个条件是“偶格”。偶数的偶。它的意思是，一个整格中的所有向量的模的平方是偶数。对正方形格，它的边长平方是1，不是偶数，所以它不是偶格。对六边形格，我们规定它的边长是 ，所以六边形格是偶格。

第三个条件是“幺模格”。它是指格中所有基向量 , ,..., ，其所构成的方阵：

若其行列式值为1，则就是“幺模格”。对二维格，它的形象化定义就是格中的小平行四边形的面积是1。那么对正方形格来说，每个正方形面积都是1，所以正方形格是幺模格。对六边形格来说，边长是 ，小平行四边形面积是3，所以六边形格不是幺模格。

不管怎样，如果一个整格，同时是偶格和幺模格，那么它所对应的球体填充模式的密度可以达到极大。既然二维中没有这样的格，其他维度中有吗？

恰好，数学家在8维找到了这种格，称为 格。也在24维中找到了这种格，称为“利奇格”。

( 格的一组基向量所构成的方阵。可以验证，它是幺模格。)

而其他维度没有找到符合条件的格。那为什么是8和24，这两个数字呢？不知道。这是数学里有趣也有一些神秘感的地方，即有些数字会单独作为例外而出现。

但不管怎样，正因为8维和24维有偶格和幺模格，所以很早数学家就在这两个维度下构造出了球体填充模式，使得填充密度无限接近于线性规划下所找出的理论上限。但是要证明所构造出的模式就是最大值，这其中的难度还是很大。

它的那点在于，需要找到一个函数，这个函数与其傅里叶变换变换的比值恰好是给定值。但是，要同时控制这个函数和它的傅里叶变换非常困难。此问题的一个专家科恩（Henry Cohn），曾经把这个函数称为“魔术函数”（magic function）。解决开普勒猜想的黑尔斯曾经评价，大概需要拉马努金这样的天才才能找到这样的魔术函数（原语为“I felt that it would take a Ramanujan to find it.”）。

2016年，维亚佐夫斯卡找到了这样的“魔术函数”。她的主要方法是利用了艾森斯坦级数和雅可比斯塔函数，并且加入了她自己独特的贡献，成功证明了8维下的最大球体填充密度问题，并且得到了菲尔兹奖！

球体填充问题是数学里非常重要的问题，它也有些独特的实际应用。比如，它在纠错码理论。我们在传输信息的时候，希望在一定的时间和空间里，传输尽可能多的信息。但是信息密度过大，之间产生重叠，就可能互相干扰，从而造成信息无法被正确识别，所以我们希望信息在传输时要保持一定的距离。

那么如果一个信息是可以由若干维度的数据构成，并且两个信息之间的距离可以用这些维度下的欧几里得距离来衡量，那么让信息的传输效率最高，就变成了一个某个维度下的球体填充问题。这就是球体填充问题的一个实际应用。

另外一个方面，8维和24维这两个特殊的格或者数字也在其他一些领域里出现，比如我曾经介绍过的凯勒猜想，它在8维及以上维度不成立。“亲吻数问题”，目前三维以上的情况下，也只知道8维和24维的结果。甚至在弦理论中，也有人使用了 格作为数学上的支持。总之，宇宙中有这两个特殊维度，本身也是一个很奇妙的事情。

https://mp.weixin.qq.com/s/weoad9YX7chkEXqZmQk4NA

https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group)

https://www.quantamagazine.org/ukrainian-mathematician-maryna-viazovska-wins-fields-medal-20220705/

https://plus.maths.org/content/short-introduction-work-maryna-viazovska

https://plus.maths.org/content/mv

https://www.ams.org/journals/notices/201702/rnoti-p102.pdf