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分形是为了研究不规则几何体而发展出来的一种非线性研究方法，分形概念由数学家本华·曼德博（Benoît B. Mandelbrot）提出，以描述粗糙和破碎的几何形状。分形研究对象的普遍性体现了基础研究的兴趣导向特征，长期受到各领域的重视；同时分形方法又具有重要的实用价值，已经在机械、物理、材料、生物等领域得到了广泛的有效应用，例如机械加工、薄膜生长以及很多其他技术获得的表面都有文献证明具有分形特性，分形仿真方法也被应用到粗糙表面分形模型建立、粗糙表面接触机理、摩擦表面温度分布、薄膜生长机理等大量研究领域。但是，分形维数的传统算法普遍存在着计算准确性差或效率低的问题。
针对上述问题，清华大学深圳国际研究生院先进制造学部冯峰、钱翔、李星辉、张旻等教师近年来联合在分形方法及其应用研究领域开展研究工作，提出了粗糙度多尺度提取（Roughness Scaling Extraction，RSE）算法，可基于单张表面形貌图像或单根时间序列信号曲线快速、准确计算分形维数。根据使用维斯特拉斯-曼德勃罗特（Weierstrass-Mandelbrot）函数生成的具有理想分形维数的人工曲面，相对于自相关函数法、结构函数法、盒子计数法、功率谱密度法等传统算法，RSE算法的平均相对误差具有一个数量级的显著优势。基于RSE算法的独特优势，先进制造学部在各类表面与信号的分析工作成果近年来发表在了包括《分形》（Fractals）、《分形与分数》（Fractal and Fractional）、《应用表面科学》（Applied Surface Science）等重要期刊。
研究中发现的振动信号与表面形貌在粗糙度多尺度特征跨分形变化现象
近日，先进制造学部在分形研究中再次取得了重要进展。在对包括薄膜表面、机械加工表面、机床振动信号、脑电信号和仿真曲面及曲线的分析中，使用RSE算法都普遍发现了粗糙度多尺度特征能够在分形与非分形范畴之间的连续变化，而传统的分形算法都无法对该现象进行有效表征。因此，该研究将上述现象拓展为一种能够有效表征信号与表面复杂程度的新方法，并根据实际现象的特征提出了跨分形（transcending fractal）的描述方式。该研究成果实现了包含分形与非分形两个领域的复杂程度连续表征，并在表面形貌和信号分析两个方面都实际验证了跨分形表征的有效性，其提出的研究方法有望在智能制造技术领域广泛应用，提高包括加工信号原位监测和加工表面形貌分析等各类数据的非线性特征分析能力。
相关研究成果以“一种基于跨分形标度现象的信号与表面复杂性量化指标”（An indicator to quantify the complexity of signals and surfaces based on scaling behaviors transcending fractal）为题发表于分形领域刊物《混沌，孤立子与分形》（Chaos, Solitons and Fractals），该期刊在最新的《期刊引用报告》（Journal Citation Reports）中的数学交叉学科应用（Mathematics, interdisciplinary applications）分类排名1/108、数学物理（Physics, mathematical）分类排名1/56。该论文的第一作者为清华大学机械工程系2019级直博生（原为深圳国际研究生院先进制造学部2019级硕士生）李志伟，通讯作者为清华大学深圳国际研究生院副教授冯峰。
论文链接：
图/文|冯峰
编辑|叶思佳
审核|林洲璐
排版|何柳
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