黄金比例的运用，尺规作图作正五角星，求sin18°

一，八年级上册数学课本上例题。

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各角的度数。

解：按解答数学题的一般步骤，设未知数、列等式、解方程。

∵AB=AC，BD=BC=AD，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角)。

设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而，∠ABC=∠C=∠BDC=2x。

于是在△ABC中，有

∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，

所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°

评：这题好像没什么特别，是吧？但有没想到这三角形是很美很特别的三角形？角的度数很巧妙，BC/AB=DC/AD，这比值又是黄金比例。

二，黄金分割数

我们常说一个人的身材比例很完美，大概符合，上身（腰以上）与下身的高度比，等于下身与全身的高度比。这个高度比是多少？

把问题一般化，如图，在线段AB上找一个点C，把AB分成AC和CB两段，其中AC为较小的一段，现要使AC∶CB=CB∶AB。

为简单起见，设AB=1，CB=x，则AC=1－x。

代入AC∶CB=CB∶AB，即(1－x)∶x=x∶1，

也即x2+x-1=0。解方程，得x=(-1±√5)/2。

根据问题的实际意义，这比值是正数，取x=(-1+√5)/2≈0.618,这个值就是上面问题中所求的高度比，即黄金分割数。

如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短的一段与较长的一段的比也是黄金分割数。

三，在正五角星中存在黄金分割数，

可以证明其中MN/NB=BN/BM=BM/BE=MN/AN=(-1+√5)/2,

容易证明五边形MNIKJ为正五边形，∠A=36°,△ANM与上文中的△ABC相似，足见正五角星的完美。

四，求sin18°的值。

在初中数学知识范围内，要求求解三角函数值的，一般都是特殊角，30°、45°、60°，如sin30°=1/2，怎么求解sin18°呢？

显然，可以利用上文△ABC或正五角星中出现的36°，

在△ABC中，过点A做BC的垂线，交BC于点F，BC/AB=黄金分割数，

则假设BC=-1+√5，AB=2，

则BF=(-1+√5)/2，

sin∠BAF=sin18°=BF/AB=(-1+√5)/4。

五，按尺规作图要求，作正五角星。

提示：勾股定理，作√5；再参考上文内容，黄金比例数。