张亮？张量！我们不一样！

每次路过张亮麻辣烫，脑海中总有这样一个疑问：

张亮麻辣烫和张亮到底什么关系？

为了探究这个问题的答案，进店，点餐，花了30元点了大份。上菜后，嚯！真香！赶忙夹起一块豆腐塞进口中，瞬间戴上了痛苦面具，脸部肌肉扭曲变形。

测下温度，好家伙，65度，舌头给我烫白一片。

吃饱喝足，出门，过马路到公交站等车。旁边大爷问我到张亮麻辣烫怎么走，我指着马路斜对面，说：就那儿，那个方向。

实际上，张亮麻辣烫和张亮没什么关系。但吃张亮麻辣烫这一遭遇到的东西都和张量有关系。张量这一概念是现代力学、物理学广泛使用的数学工具。上面提到的“30元”“65度”“扭曲变形”“那个方向”都是张量的具体表现形式。“30元”和“65度”对应于标量，是零阶张量；而“那个方向”对应于矢量，是一阶张量；“扭曲变形”对应于应变矩阵，是二阶张量，高阶的还有四阶黎曼曲率张量，等等。那么到底啥是张量呢？简单来说，就是一种不变的量，不以人的意志为转移！

一碗麻辣烫的定价

无论客人是中国人还是美国人，麻辣烫的定价肯定是不变的。在得知我会用人民币而旁边老美用美元支付的情况下（假老板允许美元支付），老板会向我报出30这一数字，而向老美报出另一个数字4.5。那么我会因为老外只给4.5而感到委屈吗？亦或老美看到我给了30而暗自庆幸。事实上都不会，因为我们知道彼此买的是同一个麻辣烫且使用的是不同的货币，更重要的是，人民币和美元之间还存在汇率。

烫嘴的温度

无论谁来吃这碗麻辣烫，烫嘴的温度肯定也是不变的。在明知我会用摄氏度而旁边老美用华氏度的情况下，温度计会向我报出65这一数字，而向老美报出另一个数字149。我和老美知道彼此吃的是同一锅里煮出来的麻辣烫且使用的是不同的温度单位，摄氏度和华氏度之间也存在转换公式。

“那个方向”究竟指的是哪个方向？

我指或不指，麻辣烫就在那里，不来不去，麻辣烫所在的位置显然也是是不变的。在明知我会用北-西方位而车站老头用东-南方位的情况下，我手指的那个方向在我看来是50这一数字，而在老头看来是另一个数字220。当然，我和老头知道彼此说的是同一方向且使用了不同的方位表示，而北-西方位和东-南方位之间也存在着转换规则。

不难发现，对于同一事物，不同的人有不同的描述方式，我说一碗麻辣烫30，你却说4.5，那怎么知道你我说的是同一个东西呢？这时就必须要明确各自所使用的货币，且给出货币间转换的汇率，对于温度和方向也是一样的。将这一思想推广，我们发现想要精确地、定量地描述一个不变的事物，即张量，必须要加进带有个人意志的一种描述方法，称为基；在明确了基之后，我们就能以此为基础赋予张量一些数，称为分量。这样一来，一个张量就可以简单表示为

当然，我有我的基，你也有你的基，我给出的分量不一定和你给出的分量相同，那怎么知道你我指的是同一个张量呢？根据下面的等式

不难发现，只要给出了咱俩所用的基之间的转换规律，立刻就能知道你我各自给出的分量是否对应同一张量。假如

那么只要

就能说明我们指的是同一个张量。从中我们还可以发现，分量和基的变化规律应该是相反的，基越大，分量就得越小，以保证所指的张量不变。我们一般称分量为逆变分量，因为它逆着基进行变化；而基自身肯定是顺着自己变化的，即协同于自身变化，因此称为协变基。类似地还有协变分量和逆变基。无论怎样，一个张量总是由一对逆变-协变的分量和基组成，它们一个往东，另一个就必须往西；一个变小，另一个就必须变大，以保证乘起来之后结果不变。

在现代数学中，张量又被称为“多重线性映射”，以突出其线性映射的本质，上面等式中的符号表示张量积，它的出现表明该线性映射是多重的；而在现代力学中，张量通常以黑体形式出现，以突出其不变性的特点，例如胡克定律

其中σ是二阶应力张量，ε 是二阶应变张量，C 是四阶刚度张量，而“:”表示双点积；在现代物理中，基常常被认为已知，因此张量又通常以分量的形式出现以突出其精确量化的特点，例如爱因斯坦引力场方程

其中Rμv是二阶里奇张量，gμv是二阶黎曼度规张量，R是数量曲率，C是光速，G是引力常量，Tμv是二阶能量动量张量。可见张量这一基本工具已经深入到现代科学的各个方面，体现着深刻的不变性思想以及巨大的理论价值。

下次再路过张亮麻辣烫，别老想着它和张亮有什么关系了，多想想和张量有什么关系吧！

参考资料

赵亚溥. 2016. 近代连续介质力学. 科学出版社.

（文章图片源自于网络，仅供科普参考）

END

力学科普公众号是中国力学学会旗下的科普公众账号，发布相关的科普新闻及竞赛消息，推荐科技方面最新动态和科普相关信息，致力于让公众走进科学，了解力学，激发学习科学技术的兴趣。

转载内容仅代表作者观点

不代表中科院物理所立场

如需转载请联系原公众号

来源：力学科普

编辑：Garrett

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.