1985年高考数学附加题，求切线截距的最小值，高三学生直言真简单

在经历了1984年让不少考生崩溃的“地狱”般难度的高考数学考试后，1985年高考数学试卷的难度有了明显的降低，算是恢复到了正常的难度水平。那么本文就和大家分享一下这道1985年高考理工农医类数学试卷的附加题。

当年这套试卷共有八道大题，满分120分。其中，第一大题为选择题，包括5道小题，每小题3分；第二大题同样包括5道小题，直接写出答案即可，相当于填空题，每小题4分；第三到八题为解答题，分值为12到15分不等。本文和大家分享的这道附加题为第九大题，分值为10分，但是此题的分数不计入总分，而现在不少高三学生看过题目后直言真简单。那么，接下来一起来看一下这道附加题。

题目如上图。

分析：要在曲线上求一点使得过该点的切线在y轴上的截距最小，那么可以设出该点的坐标，进而表示出过该点的切线方程。但是切线方程怎么表示呢？这时就需要用到导数的几何意义了。

导数的几何意义：曲线上某一点的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

所以，通过求导就可以得到过该点切线的斜率，而知道直线的斜率和一点，就可以用点斜式表示出直线的方程，从而表示出切线的截距，再进一步求出截距的最小值。

解答：设P(x0,y0)，则有0≤x0≤2。接下来对曲线求导，得到y'=3x^2-12x+11，从而得到过点P的切线的斜率为k=3(x0)^2-12x0+11，则切线的方程为：y-y0=k(x-x0)。整理后得到：

y=[3(x0)^2-12x0+11]x-2(x0)^3+6(x0)^2-6。

到了这一步，我们就表示出了过点P的切线方程，从而可以得到切线在y轴上的截距为：t=-2(x0)^3+6(x0)^2-6。所以，接下来只需要求出t在x0∈[0,2]上的最小值即可。

t是一个三次函数，所以可以采用求导的方法求解最值。先对t进行求导并变形，得到t'=-6x0(x0-2)。很明显，当0＜x0＜2时，t'＞0，也就是说t在这个区间上是单调递增函数，那么当x0=0时，t取得最小值，代入后可以算出最小值就等于-6。

从现在高中数学的学习情况来看，这道题确实不难，就是考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的最值等知识，而且考查的难度也远低于如今的高考。当然，本题还有一个需要注意的点就是不要将截距和距离混为一谈。截距不是距离，距离都是正数，而截距可正可负，比如曲线在y轴上的截距，指的是曲线与y轴交点的纵坐标。

这道题就和大家分享到这里，你觉得这道题简单吗？