一、题目
如图,已知在RT△ABC中,AB=AC,∠CAB=90°,将正方形ADEF如图所示放置,点E恰好落在AB上,连接BF、CD,M是BF的中点,连接AM交CD于点N.试判断CD与AM之间的关系,并说明理由.
二、分析
线段间的关系分两种:数量关系与位置关系,容易猜测CD与AM的数量关系为:CD=2AM或AM=1/2CD,位置关系为:AM⊥CD.
AM与CD的数量关系不易直接证明,需添加辅助线,有两种思考方向:①截长补短证全等;②构造手拉手模型转化线段.
这里只介绍第②种方法.之所以会想到手拉手模型,是因为△CAB和△FAD都是等腰直角三角形,但又有所不同,因为点C是△CAB的右手,点B是△FAD的左手,不符合手拉手模型的“左手拉左手,右手拉右手”,这种情况可称之为“反向手拉手”,处理方法为作对称转化为手拉手模型,然后按手拉手模型求解.
三、解答
AM=1/2CD,AM⊥CD.理由如下:
以AD为边在AD下方作正方形ADE'F',连接BF'
①加减公共角证△CAD≌△BAF'
∵四边形ADE'F'为正方形
∴∠DAF'=90°=∠CAB,AD=AF'
∴∠DAF'+∠DAB=∠CAB+∠DAB
即∠BAF'=∠CAD
又∵AC=AB
∴△CAD≌△BAF'(SAS)
∴CD=BF'
②中位线证AM=1/2BF'
∵AF=AF',FM=MB
∴AM//BF',AM=1/2BF'=1/2CD
③8字模型证夹角
∵△CAD≌△BAF'
∴∠1=∠2
又∵∠3=∠4
∴∠OAF'=∠OGD=90°
又∵AM//BF'
∴∠AND=90°
∴AM⊥CD
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