四川
大家好！本文和大家分享的是2001年高考理工农医类数学卷的压轴题。这道题综合考查了抽象函数、函数的奇偶性、对称性、周期性以及极限的相关知识，但是整体难度并不算大。将这道题给现在的高三学生，学霸轻松可以得到满分。接下来一起来看一下这道题。
先看第一问：求函数值。
如果知道函数解析式，只需要代入自变量的值就可以求出函数值，不过本题并没有告诉函数解析式，也没告诉求函数解析式的条件，即本题为抽象函数。所以代入自变量的值求函数值就行不通了，那么就需要充分利用题干中等量关系来求解。
比如本题中，要求f(1/2)，那么可以从等量关系和f(1)入手，即f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)·f(1/2)=[f(1/2)]^2。再根据f(1/2)=[f(1/4)]^2可知f(1/2)为正，所以f(1/2)=√a。
再看第二问：证明周期性。
其实，对于学霸来说可以一眼看出f(x)是一个周期函数，且周期T=2。这是为什么呢？搞明白这两个知识点就可以了。
①轴对称函数：如果函数f(x)满足f(x)=f(2a-x)，那么函数f(x)的图像就关于直线x=a对称，偶函数就是一个特殊的轴对称函数。推广到一般形式就是：f(x+a)=f(b-x)，那么f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。
②周期函数：如果函数f(x)满足f(x)=f(x+T)，则f(x)是以T为周期的周期函数。当然，周期函数也有很多变形形式，这里就不赘述了。
另外，周期函数和对称函数是有一定联系的。如果一个函数有两个对称元素，那么这个函数一定是周期函数。比如函数有两条对称轴，那么这两条对称轴的横坐标之差的绝对值的2倍就是它的一个周期。
回到题目本身。f(x)图像关于x=1对称，那么可以得到f(x)=f(2-x)。接下来只要将-x变成x就满足周期性的定义了。
又f(x)为偶函数，则有f(x)=f(-x)，所以f(-x)=f(2-x)。再用x替换-x，就可以得到f(x)=f(x+2)，得证。
最后看第三问：求极限。
要求这个极限，首先需要表示出an的表达式。根据第二问可知，an=f(2n+1/2n)=f(1/2n)，所以只需要求出f(1/2n)的值即可。
因为0＜1/2n≤1/2，所以f(1/2)=f(n·1/2n)=[f(1/2n)]^n，代入f(1/2)的值并开方就可以得到f(1/2n)的值，从而求出an的表达式。求出an的表达式后再求极限就很简单了。
从现在的角度来看，这道压轴题的难度确实不大。如果是你，你能得满分吗？
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