初一数学：平行线添加辅助线技巧 ，沟通两平行线之间的桥梁

我们在探索直线平行的条件时，必须要加上这句话；“两条直线被第三条直线所截”，而后才有如果同位角、内错角相等，或者是同旁内角互补，两直线平行。这句话很关键也为我们指明了在解平行线相关题目时，添加辅助线的方法和技巧，这里的“第三条直线”就是我本篇文章中要说的“桥梁”。它又分为“直接桥梁”和“间接桥梁”，分别对应两种作辅助线作法。

一、直接桥梁

直接桥梁是指原来两条平行线并没有被第三条直线所截，此时延长某条直线与两条平行线都相交，这样在两条平行线之间就有了一条直接沟通的桥梁，有了这个桥梁之后，我们就可以直接应用两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补来解题。

例1、如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3=__________．

解：如图：延长直线与直线b相交（这样直线a、b之间就有了一条直接沟通的桥梁，有了这个桥梁之后，我们就可以应用两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补来解题。）

∵a平移后得到直线b，

∴a∥b，

∴∠5=180°-∠1=180°-70°=110°，

又∵∠2=∠4+∠5，∠3=∠4，

∴∠2-∠3=∠5=110°

故答案为：110°．

二、间接桥梁

间接桥梁是指指原来两条平行线并没有被第三条直线所截，此时过两条平行线之间某个角的顶点作这两条平行线的平行线。然后利用相邻的两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补来解题。这样通过不断转换，就建立了原来两条平行线之间的联系。

例2、如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　）

A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°

解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，（这样平行线AB、CD之间就可以利用任意两相邻平行线之间的直接桥梁AE、EF、FC，也是AD、CD之间的间接桥梁，应用两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补联系起来了。）

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EG∥FH，

∴∠1=∠AEG，

∴∠GEF=∠2-∠1，

∵EG∥FH，

∴∠EFH=180°-∠GEF=180°-（∠2-∠1）=180°-∠2+∠1，

∴∠CFH=∠3-∠EFH=∠3-（180°-∠2+∠1）=∠3+∠2-∠2-180°，

∵FH∥CD，

∴∠4=∠3+∠2-∠1-180°，

故选D．

例3、下面我们试试用间接桥梁的方法来解例1

如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3=__________．

解：过∠AEF的顶点E作EB//a//b

则有∠1+∠BEF=180º ∠3=∠BEA 而∠1=70°

∴∠BEF=180º-70°=110º

又∵∠2=∠AEF=∠BEF+∠BEA=∠BEF+∠3

∴∠2－∠3=∠BEF=110º

练习1、如图所示，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（挖去一小半圆），刀片上下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则∠1+∠2=__________．

解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1=∠AOP．

∵AB∥CD，
∴OP∥CD，
∴∠2=∠POC，
∵刀柄外形是一个直角梯形，
∴∠AOP+∠POC=90°，
∴∠1+∠2=90°．

练习2、如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90° ．

（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；

（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？

（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？ （2、3小题只需选一题说明理由）

（3）∵AB∥CD，

∴∠BAC+∠ACD=180°，

∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，

∴∠BAC=∠PQC+∠QPC．

两道练习大家自己试试用另外一种方法解一下吧。

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