数学与艺术：连接数学家和艺术家

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

数学和艺术以惊人的方式互动。其中包括寻求对我们所处的世界、"人类状况 "的理解和创造美丽作品的共同目标。数学为艺术的产生提供了工具（如透视），也提供了启发艺术家的概念。许多数学家在证明定理之外，还选择通过艺术来表达自己。数学和艺术的互动对这两个学科都是有益的。

简介

野生动物并不创造艺术。然而，人类可能会欣赏鸟巢，认为它是一件 "艺术品"，我们可能会发现松鼠或兔子在雪地上做出的图案令人愉悦。对图案的研究有时被作为数学内容的一个简短定义。欣赏艺术往往需要看到一幅画中的图案，以及连接一个艺术家在一段时间内产出的图案。同样，鲸鱼发出的声音，有时被视为 "音乐艺术"，它是否有资格像莫扎特歌剧或马勒交响乐那样成为艺术。然而，鸟类的歌声确实是鸟类的一种交流形式，就像长 颈鹿的发声一样，尽管我们不清楚长颈鹿声音的含义。当然，"艺术 "是人类的一种交流形式。什么是艺术是一个非常复杂和激烈争论的问题。当杰克逊-波洛克第一次尝试通过在画布上泼洒颜料来表达自己时，许多人认为他的活动是一种自我放纵的形式，而不是艺术表达。许多人认为艺术是对美的追求，是表达艺术家 "所见 "的情感真相的一种方式。数学家们也经常提到，美和真理是吸引他们进入数学领域的原因，并继续塑造他们追求数学努力的原因。我在这里的目的是呼吁大家注意数学和艺术的狭窄部分--视觉艺术（设计）和建筑（如绘画/雕塑）之间令人惊讶的丰富联系。

数学与艺术的一个联系是，一些被称为艺术家的人需要发展或使用数学思维来进行他们的艺术构想。这些艺术家包括卢卡-帕乔利（约1145-1514）、达芬奇（1452-1519）、阿尔布雷希特-丢勒（1471-1528）和M.C.艾舍尔（1898-1972）。另一个联系是，一些数学家在成为艺术家的同时，往往还在从事数学研究。

数学家们经常谈论美丽的定理和美丽的定理证明。他们也经常对证明或定理产生情绪反应。有 "枯燥 "的数学事实的漂亮证明，也有 "漂亮 "定理的 "不满意 "证明。艺术家和艺术评论家也在谈论美。艺术必须是美丽的吗？请记住，弗朗西斯-培根的画对每个人来说可能是美丽的，也可能不是，然而很少有人对他的作品没有反应。艺术关注的是情感的交流，也关注美感。有些人可能在M.C.埃舍尔的许多版画中看不到什么情感内容，但很难不被他创造的图案所 "打动"，尽管对他的作品的熟悉使现在做类似事情的人看起来是 "模仿者"。有些人认为埃舍尔的版画很美，但与伦勃朗的伟大作品有着不同的美。就像艺术本身一样，美、交流和情感的问题是复杂的主题，但此时数学也是如此。

艺术家的数学工具

艺术诞生于人类对生活经验的自我表达的尝试。艺术可以采取写作、音乐、绘画、建筑和雕塑的形式，以及其他各种表达形式。在诸如盘子、餐具和灯等日常用品中，功能和美学的结合也是艺术。数学家能够通过为艺术家创造各种 "工具 "来帮助他们。这些工具有时包括一些定理，这些定理显示了艺术家所能做到的限制。人们不能试图在欧几里得三维空间中表现五个以上的规则（面是规则的凸多边形）的凸多面体，因为数学表明只有五个这样的规则或柏拉图式实体。十二面体（有12个面的实体）可以用来把日历的1个月放在每个面上，但在欧几里得三维空间中，正凸多面体的面数是4、6、8、12或20。不可能有其他的。然而，还有一个凸对称的实体，菱形十二面体（12个全等的菱形面），可以用来展示一年的月历。普通十二面体有120个对称点，而菱形十二面体只有48个（图1）。

图1：两个对称的十二面体。对于这两个多面体，当它们位于一个平面上时，有另一个面位于一个平行的平面上。这意味着人们可以在这些固体的表面上显示一年的12个月，尽管人们几乎从未见过左边的菱形十二面体这样做。

一个更重要的问题是，艺术家们能不能在一张平面的纸上画出他们在眺望三维世界时所感知到的真实情况。如果看一下古埃及和美索不达米亚艺术中的场景表现尝试，就会发现与人类视觉系统有关的现象并不总是受到尊重。我们都很熟悉这样一个事实：离我们很远的物体看起来比实际要小，而且平行的线条在远处看起来会汇聚在一起。任何看到一段笔直的铁轨退到远处的人都会对这种现象感到熟悉。这些特征是现在通常在平面上表示三维物体的标准部分。在文艺复兴之前，人们并没有完全理解这些特征。人们通常称艺术家使用 "透视"（或 "线性透视"）来增加其表现的真实性。理解透视所涉及的问题和想法是相当微妙的，并且经过了很长一段时间的演变。

在关于 "透视 "的想法方面，学者和实践者之间一直存在着互动，这与理论和应用之间的互动相类似，而这种互动在所有将数学思想用于工作的领域中都是如此。一个艺术家可能想比过去更好地解决一个问题，并不总是关心证明所使用的技术总是有效或具有艺术家想要的特性的细节。一个更现代的情况的类比是，如果用于路由电子邮件分组的当前系统平均花费7.2个单位的时间，并且一个人发现了一种平均在6.5个单位的时间内进行路由的方法，那么即使还没有人发现这样的系统，一个人也不会担心可以证明最好的系统可能在6.487个单位的时间内完成工作。

关于透视的问题非常符合数学建模问题的精神，数学建模是数学的一部分，涉及使用数学来获得对数学以外的学科的洞察力。在通常的方法中，人们关注的问题是，假设场景是由一只 "单点眼睛 "观看的，例如，在平面画布上的三维空间中的场景的感知。然而，我们都知道，人类具有双眼视觉！我们正在攻击这种双眼视觉。我们今天正在攻克这样的双眼视觉问题，因为我们有数学工具来解决这样的问题，而过去的艺术家/数学家不得不满足于更简单的方法。

有许多人的名字为数学家所熟知（但也许不为大众所知），他们对透视理论做出了贡献（图2）。虽然每个微积分学生都知道布鲁克-泰勒（1685-1731）的名字，知道他在幂级数方面的工作，但有多少数学家知道泰勒写过线性透视理论？另一方面，每个艺术史家都会认识皮耶罗-德拉-弗朗西斯卡（Piero della Francesca，约1412-1492）的名字，但这些艺术史家（或数学家）中又有多少人熟悉他对数学的贡献？同样，吉拉德-德萨格（Girard Desargues，1591-1661）因其在射影几何方面的工作而为几何学家所熟知。平面上的投影几何涉及点和线，但与欧几里得几何不同，在欧几里得几何中，线可以是平行的（从不相交或相遇），而在投影平面中，任何一对线总是相交的。很少有与艺术有关的人熟悉Desargues的工作。下图（"Desargues Confifiguration "的一部分）是射影几何学生所熟悉的，可以认为是一个 "眼睛"（点）观察位于不同平面的三角形的平面图（图3）。在这里，我们将平面上的图画视为代表我们在三维空间中思考的东西。

图2 布鲁克·泰勒（Brook Taylor）的画像

图3两个三角形被认为在三维空间的不同平面上，它们的对应顶点通过一个点。

这个图的真实情况是，如果“相应的三角形”的边不平行，那么这些边在三个点相交，这三个点必须都在同一条线上。人们可以陈述德萨格在欧几里得平面中发现的不同版本，但是考虑结果的自然位置是在实射影平面中，从几何学的理论观点来看，它提供了欧几里得平面几何学的替代物。在欧几里得几何中，使用了约翰·普莱费尔(1748-1819)的一个公理，即给定一个不在线l上的点P，存在一条通过P到l的唯一平行线，这更直观地抓住了有点复杂的欧几里得第五公设的内容。在实射影平面中，不同直线的对总是相交的；在实双曲平面中，给定一个不在线l上的点P，将有无限多条通过P的线平行(不相交)。双曲几何很吸引人，但这里不讨论，尽管我们将在后面看到，有时艺术家希望使用双曲几何的思想来帮助以欧几里得几何无法做到的方式表达思想。约翰·兰伯特(1728-1777)也对透视数学做出了系统的贡献，他的名字是因为他得出了欧几里得第五公设(或公平公理)不成立的结论。今天，我们更好地理解了在理论数学和“现实世界”中可能的行为模型中都有欧几里得几何的替代物。虽然透视是一个很好的领域，但这并不能阻止对这个主题的持续思考。对于那些习惯于在一点或两点视角下工作的人，有D. Termes的专著，他通过6点视角来解决！

与线性透视工具相关的是被称为描述性几何的几何学分支。在19世纪，描述性几何学被广泛教授，特别是在工程学院，而今天这个学科并不广为人知。部分原因是计算机软件使不熟悉描述性几何的人有可能完成一些任务，从而使其明确的知识越来越过时。描述性几何学提供了一套在二维空间表示三维物体的程序。二维表示可能是在一张纸上或一个计算机屏幕上。这些技术对工程师、建筑师（特别是弗兰克-盖里）和设计师来说非常重要。要设计，比如说一架大型飞机，可能会涉及数以万计的图纸。这个主题的根源在于阿尔布雷希特-丢勒（1471- 1528）和加斯帕德-蒙格（1746-1818）等人。如果一个艺术家、创意设计师、雕塑家或建筑师不能表达他/她对如何制造或以其他方式组装他们想要制造的 "创意 "设计的概念，那么所涉及的工作可能就无法实现了。描述性几何学支持建设性的制造和创造性的设计，它给出了如何在平面上表现拟议的三维创作的程序。

为了说明其中的一些问题，下图用蓝色显示了平行线如何 "将一个三角形投射到一条线上"，而红线显示了同一个三角形如何从 "眼睛""投射 "到同一条线上。直观地说，平行投影可以被认为是 "眼睛 "从 "无限远 "的地方看三角形的投影。A'、B'和C'显示了三角形顶点被 "平行 "投影移动的位置，而A"、B "和C "显示了顶点被 "圆锥 "投影移动的位置（图4）。

图4将三角形“投影”到平面直线上的两种方法。

这里有一个相当可爱的结果，它是从数学和艺术家在平面上表现三维空间的需求之间的互动中产生的。这个结果被称为波尔克定理。卡尔-威廉-波尔克（Karl Wilhelm Pohlke，1810-1876）是一位德国画家，也是一所艺术学校的描述性几何学教师。他在1853年提出了这个结果，尽管第一个证明似乎是由K.H.A. Schwarz（1843- 1921）在1864年提出的。该定理在不同程度上被引用。这里是一个版本。

波尔克定理：给定三条指定长度(不一定相同)的线段在平面上的一点相交(不一定相同)，则在三维空间中有三条等长的直线段在一点上成直角相交，使得这些线段的平行投影将它们映射到平面中选定的三条直线段上。

直观地说，这意味着如果一个人想要在平面上画一个立方体长方体，他可以为立方体的一角画出任意三元组的线，因为立方体在三维空间中有某个位置映射到给定的三元组。因此，在下图中，左侧的空间坐标轴可以完成以形成一个“立方体”，并且在三维空间中有一组由三个正交段组成的集合，它们可以使用平行投影映射到左侧的空间轴上。空间坐标轴顶点处的角度(以度为单位)为90、135和135。一般说来，三个角的总和为360度(图5)。

图5：用作方框一角的三条线。

波尔克定理有时被称为轴测基本定理，它和画法几何一样，处理的是在平面上绘制三维物体的问题。

对称

艺术评论家已经发展出一种讨论和分析艺术的语言。事实证明，一些数学知识在分析艺术时是有用的。一些艺术作品或艺术作品的某些部分由赏心悦目的东西组成，因为它们在数学意义上是对称的。尽管对对称性的研究在数学内部已经隐含了很长时间，但在某些方面，对其进行系统的研究是最近的事。因此，是Felix Klein（1849-1925）呼吁注意这样一个事实：对不同种类的几何体进行分类的一种方式是通过观察这些几何体中的每一种保留了有趣的属性的几何变换。特别是，在欧几里得、球面或Bolyai-Lobachevsky几何中，看一下作为等值线的几何变换是有意义的。等值变换是一种保留距离的变换。在欧几里得平面内，一个完整的等值线列表包括平移、旋转、反射和滑移反射。

当然，重要的是要记住，数学家(和其他人)使用数学思想分析的许多艺术作品可能并不反映艺术家试图将这些数学思想融入他/她的作品中。就像制作立方体盒子的人可能没有意识到立方体是一个正多面体(所有顶点都一样，所有面都是全等的正多边形)，编织的制作者可能对等距(距离保持变换)一无所知。因此，一位数学家可能会指出地毯的设计中使用了17种墙纸中的哪一种，但这并不意味着地毯的设计者调用了任何数学思维。然而，对称思想和文化传播机制的保守主义被社会科学家用作工具。考古学家和人类学家试图利用对称性来确定人工制品(陶器或织物)的年代，并研究贸易和商业模式。

分析对称性的一个主要工具是群的概念，这是自认为是代数学家或几何学家的数学家们所研究的。使用组或对称的想法是有见地的，但通常涉及实际艺术正在被“建模”的现实，因为它很少满足所涉及的严格的数学要求。群的概念有着丰富而复杂的历史，与方程理论的研究有关(试图表明人们无法找到解五次多项式方程的公式)。到了19世纪晚期，群论被用作一种工具，帮助晶体学家理解晶体和其他自然发生的结构的对称性。出于这种兴趣，产生了使用群论考虑对镶嵌和图案进行分类的工作。

艺术家、建筑师和设计师（服装和家具）经常使用带状或饰带上的图案。这里有一些饰带上这种 "无限 "对称图案的样本，是用英文字母构成的。看起来，使用不同的图案就可以实现无限的变化（这里的图案都是由字母组成的，但可以有更多的图案）。

...L L L L L...

....H HHHH.....

....p b p b p b...

....p q pqpq....

...b q b q b q....

...W W W W W...

....C C C C C...

...X X X X X...

...E E E E E...

...A A A A A...

.....p d p d p d ...

.....b p b p b p ....

....d b d b d b d b ...

事实证明，这13种图案中有一些 "看起来 "不一样，但有一个惊人的数学结果表明，在数学意义上，任何饰带图案都是7种之一，所以你可能会喜欢看上面的图案中哪些是相同的，哪些是不同的。1924年，Speiser、Pólya和Niggli在一篇联合论文中讨论了使用组来对饰带图案进行分类。大约在1980年，Branko Grünbaum和Geoffrey Shephard发现了一种概括条形图案概念的方法，从而产生了15种不同类型的图案。当被认为是相同的事物通过识别一些区分它们的 "新 "属性而被看作是不同的时候，数学往往会得到发展。

人们可以看到单一图案或装饰品的对称性。这类图案的一个例子(从蜡染中使用的图案中举例说明)如下所示。这种饰品通常具有旋转对称性和/或反射对称性(图6)。

图6：两个对称的图案，但请注意，对称性在数学上并不"完美"

一个更复杂的图案，如下面的图案，可以由简单的图案建立起来。这种图案在一个方向上具有平移对称性。这种设计或图案被称为带状或饰带图案。把这个图看作是由三个独立的 "垂直 "位置的饰带组成的，它们在上下两个方向上都延伸到无限远（图7）。

图7二维对称图案，但三根柱子的每一根都可以被认为是饰带图案

用于制作这种饰带图案的图案可能是相互孤立的，也可能沿饰带物凝聚成一个 "连续 "的几何图案。如果一个图案有两个方向的平移，那么这个图案通常被称为墙纸图案。墙纸图案通常被认为是，比如说，一张白纸，背景上画了一个对称的图案，其中的图案以单一颜色出现，比如黑色。然而，数学家们研究了列举有许多颜色的对称图案的问题，这些图案有两个方向的平移。因此，有17种双色饰带图案和46种双色墙纸图案。

尽管艺术家可能会选择在所有细节上绝对严格地遵守图案的对称性，但对于 "部落 "艺术家或工匠来说，这并不那么常见。因此，如果人们仔细观察一块乍看起来非常对称的地毯，通常会发现在更详细的层面上，无论是在设计的使用上还是在设计的不同部分使用的颜色上，都不是完全对称的。人们可以看到这些小的自由度，要么是在没有机器制作图案的情况下很难做到精确，要么是艺术家想有意识地做出这种小的变化。在分析这种图案的对称性时，在应用一些有关对称性的数学分类之前，将艺术家所做的事情理想化可能是有意义的。

在上面显示的图案中，没有出现任何颜色。我们有一个白色背景上的黑色设计。然而，在讨论图案的对称性时，人们可以研究如果不考虑颜色或考虑颜色所涉及的对称性。如果你从对称的角度看下面的蜡染，你必须理想化(建模)正在发生的事情，才能使用数学。这种蜡染在一个或两个方向上都不是无限的。你必须决定使用了什么颜色，以及背景颜色是什么(图8)。

图8对称图案

许多人发现，用数学来决定对所见设计的整体或部分的不同解释涉及什么对称图案是很有趣的。E·费多罗夫(1859-1919)在1891年的一篇论文中列举了17个二维图案，因为这篇论文是用俄语写的，所以没有得到广泛关注。P.Niggli(1888-1953)和G.Pólya(1887-1985)在20世纪20年代发展了7个一维图案和17个二维图案；正是通过这项工作，分析对称图案的数学方法变得更加广为人知。H·伍兹在20世纪30年代完成了这项工作到颜色对称性的一个扩展。原来有46种双色图案。随后，人们在研究高维空间中的对称性和使用多种颜色方面做了大量工作。令人惊讶的是，最近，Branko Grünbaum和Geoffrey Shephard在一系列联合论文和他们的开创性著作Tilings and Patterns(1989)中探索了模式、密铺及其对称性的许多扩展和方面。特别是，他们探索了主题的使用和对称性之间的相互作用。例如，这使得他们能够对7种“饰带”图案和17种“墙纸”图案进行“更精细”的分类。不幸的是，这项工作并没有像它应该的那样广为人知。许多人在将对称和图案的数学知识扩展到数学之外的学者以及普通大众方面发挥了作用。这类书中最有影响力和最早的一本是赫尔曼·韦尔(Hermann Weyl，1885-1955)的书《对称》。值得注意的还有多丽丝·施特施奈德、布兰科·格伦鲍姆(1929-2018)和杰弗里·谢泼德(1927-2016)、马乔里·塞内查尔、米歇尔·埃默尔、H·S·M·科克塞特(1907-2003)和多萝西·沃什伯恩(人类学家)、唐纳德·克罗和金·威廉姆斯。这些人呼吁注意使用对称性作为一种工具，以洞察面料、民族设计和文化文物、建筑和艺术的各个方面，以及埃舍尔等艺术家的作品，他们的作品吸引了有数学爱好的人。

不对称

对称的艺术成果可以追溯到很久以前，例如马赛克瓷砖。罗马的例子在意大利和非洲都有。虽然对称物体似乎像艺术和数学一样吸引了人们的注意，但“随机”结构也是如此。早期的艺术主要是具象的，人物、动物、房屋和全景的美。然而，艺术也开始涵盖非写实作品。有趣的是，偶然性事件的数学理论比“确定性”(非偶然性)事件的数学理论的发展要晚得多。这类艺术的例子包括各种分形形状。也许令人惊讶的是，当使用涉及复数的函数的颜色编码来绘制点时，产生的图像既漂亮又视觉上吸引人(图9)。

图9一个非常吸引人的不对称图案。这是一个涉及到分形学的例子。(维基百科提供)

数学艺术家和艺术数学家

毫不奇怪，鉴于数学的内在美学特质，许多数学家（和计算机科学家）不仅选择通过证明定理来表达自己，还选择通过艺术创作来表达自己。有许多这样的人，包括赫拉曼-弗格森、纳撒尼尔-弗里德曼、乔治-哈特、库斯-韦尔霍夫、迈克尔-菲尔德，以及许多其他人。与这些同时也是艺术家的职业 "数学家 "相辅相成的是一群不是数学家但从数学现象中获得巨大灵感的人。这类人的例子有布伦特-柯林斯、查尔斯-佩里和索尔-莱维特。毫不奇怪，有许多建筑师的作品有一种被数学和计算机系统的 "技术能力 "所影响的感觉。尽管可能与数学只有切身的联系，但杰出的建筑师弗兰克-盖瑞（Frank Gehry）讨论了CAD（计算机辅助设计）软件的可用性如何使他有可能以一种其他方式表达自己。否则就不可能了。结构工程与数学有许多联系。如果你不熟悉圣地亚哥-卡拉特拉瓦的作品，你将会大饱眼福。许多数学家发现他的桥梁和其他结构很吸引人，有一种数学的味道。也有各种尝试，用算法生成艺术。其中一些工作是相当有趣的。

对于普通大众来说，有一位艺术家的作品，也许比其他任何艺术家都更被视为具有数学的品质（图10）。

图10是埃舍尔的三色图案。(维基百科提供)

这位艺术家就是M. C .埃舍尔(1898-1972)。这是真的，尽管埃舍尔并不认为自己有数学天赋。然而，尽管他缺乏正式的数学研究，埃舍尔用数学的方法处理了许多艺术问题。Doris Schattschneider在唤起公众注意埃舍尔的工作及其与数学的关系方面发挥了重要作用。不仅数学问题激发了埃舍尔，他的工作也激发了其他人去创造与数学相关的艺术(图11)。

图11荷兰特温特大学校园里的一件受埃舍尔启发的雕塑。(维基百科提供)。

埃舍尔的一些作品与绘画有关，这些绘画可以在看似三维的平面上绘制，但从物理上无法实现的意义上讲，它们是不可能实现的对象。这些与视觉错觉有关的物体既有数学方面的，也有艺术方面的(图12)。

图12三种视觉错觉。彭罗斯楼梯、不可能的三叉戟和彭罗斯三角。(维基百科提供)。

埃舍尔至少受到一位非常杰出的数学家(几何学家)哈罗德·斯科特·麦克唐纳·科克塞特(Harold Scott MacDonald Coxeter，1907-2003)的影响。埃舍尔与科克塞特交流了他在表示有限区域中的“无限”时遇到的困难。科克塞特的回应是展示了密铺之间的联系，这种密铺涉及双曲平面上的无限多密铺，但可以在欧几里得平面的有限区域内绘制。科克塞特解释了这种数学联系的细节。令人惊讶的是，科克塞特在90多岁的时候一直在做数学(图13)。

图13著名几何学家和代数学家哈罗德·斯科特·麦克唐纳·科克塞特的照片，他的朋友们都叫他唐纳德。(维基百科提供)

虽然有许多数学家和艺术家合作的例子，但在Bridges 组织出现之前，一个罕见的事件是艺术和数学在“大学”环境中互动和繁荣的社区。

黑山学院（1933-1957）是一所位于北卡罗来纳州的实验性艺术学校，成立于1933年。与学院有联系的杰出艺术家有：约翰-凯奇（1912-1992）音乐，梅斯-坎宁安（1919-2009）舞蹈，沃尔特-格罗皮乌斯（1883-1969）建筑师，威廉（1904-1997）和伊莱恩（1918-1989）德-科宁，弗朗茨-克莱恩（1910-1962）。罗伯特-马瑟韦尔（1915-1991）和多萝西娅-洛克伯恩（1932- ）另外值得注意的是，（理查德）巴克明斯特-富勒（1895-1983）似乎在1948年和1949年的夏天在那里做了一些开发工作和 "大地穹顶 "的实验。富勒穹顶出现在许多房屋和植物园的建筑中。与富勒穹顶相关的数学思想引起了很多人的注意（图14-15）。

图14：“富勒”穹顶的照片。(维基百科提供)

图15：与富勒穹顶相关的多面体关系图。内部顶点只有5或6次的近三角剖分。(维基百科提供)

富勒圆顶涉及凸三维多面体的研究，所有多面体的面都是三角形，多面体的顶点恰好有12个顶点，每个顶点有5条边，h(大于1)个顶点恰好有6条边。凸多面体的集合被称为富勒烯，其中上面的多面体的顶点和面的角色被“互换”。这些凸多面体在每个顶点都有3条边，正好12个面有5条边，h(大于1)个面有6条边。这两种类型的多面体模型在物理上非常吸引人，并且具有漂亮的数学特性。

黑山学院促进了数学和艺术之间的联系，其中一个原因可能是杰出的数学家马克斯-德恩（1878-1952）在那里的教职。德恩，尽管他在许多数学领域工作，但主要以他在拓扑学和几何学方面的工作而闻名。事实上，使德恩成名的部分原因是他解决了希尔伯特的第三个问题。大卫-希尔伯特（1862-1943）是二十世纪早期对数学最重要的贡献者之一，他在1901年提出了一个著名的问题清单，他认为这些问题一旦解决，将为当时的数学家所关注的课题带来重要的新见解和方法。其中一个问题的实质是，是否有可能将两个体积相同的三维凸面体分别切割成多面体碎片，然后重新组合成另一个。德恩表明，对于相同体积的立方体和正四面体，这是不可能做到的。他表明，如果这两个多面体具有相同的今天被称为德恩不变量的东西，那么这种分解是可能的。关于这个问题的二维类似物的讨论将在后面简单处理。

几何艺术

虽然在很长一段时间里，绘画以肖像和风景画为主，但到了20世纪，许多艺术家似乎受到了形状和它们相互作用的方式以及形状上色的方式的启发。抽象艺术当然早于二十世纪，但纯粹的几何形状作为一种兴趣来源是不常见的。一些几何艺术强调对称，但很多作品也使用了“无序”的形状。几何艺术“运动”有很多方面。

虽然一些与几何抽象有关的艺术家可能并没有受到数学考虑的“启发”，但他们的作品经常在美学和/或情感上与数学家对话，并经常向几何学家提出数学问题。这类艺术家的一个很好的例子是蒙德里安(1872-1944)，他的许多最著名的作品都围绕着几何形状，特别是矩形(图16)。

图16蒙德里安的画作。(维基百科)

他的一些工作鼓励数学家分析一个矩形何时可以分解成具有有趣性质的其他矩形。这类问题的典型例子可能是：

一个整数边的正方形什么时候才能分解成其他没有一对彼此全等的正方形？这个问题引出了“完美平方”的概念。这个问题有一个复杂的历史，但一项值得注意的贡献是罗兰·布鲁克斯(Rowland Brooks，1916-1993)、塞德里克·史密斯(Cedric Smith，1917-2002)、阿瑟·斯通(Arthur Stone，1916-2000)和威廉·图特(William Tutte，1917-2002)，当时他们还是剑桥大学的本科生。

虽然蒙德里安可能是最著名的这样的艺术家，但也有许多艺术家被几何绘画所吸引。简短的清单包括，但不试图包容：

Frantisek Kupka (1871–1957)

Bart van der Leck (1876–1978)

Kazimir Malevich (1879–1935)

Theo Van Doesburg (1883–1931)

Sonia Delaunay (1885–1979)

Josef Albers (1888–1976)

Ilya Bolotowsky (1907–1981)

Barnett Newman (1905–1970)

Morris Louis (1912–1952)

Ad (Adolph) Reinhardt (1913–1967)

Carmen Herrera (1915- )

Ellsworth Kelly (1923–2015)

Frank Stella (1936- )

Slavik Jablan (1952–2015)

艺术界与这种对几何形状的兴趣相关的另一个术语是硬边绘画。在这种绘画风格中，眼睛关注的对象之间的清晰过渡的方式与数学家通过定义来明确不同形状之间的区别的方式大致相同。

另一种具有数学吸引力的几何艺术涉及后来被称为光学艺术的东西。这种艺术部分与对视觉错觉的兴趣有关，但很大程度上依赖于形状和光线相互作用的“令人惊讶的”方面。

Victor Vasarely (1906–1997)

Bridget Riley (1931- )

Richard Anuszkiewicz (1930–2020)

Larry Poons (1937- )

Jeffrey Steele (1931- )

Ted Collier (1974- )

虽然几何抽象的根源可以追溯到很久以前，但许多实践艺术家仍然觉得这种交流方式很合他们的胃口。年轻一代的几何抽象艺术家正在探索许多新的方向。

多面体、密铺和剖分

绘制多面体是早期与透视画有关的想法的试验场。文艺复兴时期的艺术家们试图在历史上提到的 "阿基米德多面体 "的基础上再接再厉，虽然阿基米德的原作已经失传，但在帕普斯（290-350）的著作中讨论过这些多面体。阿基米德实体（传统上不包括柏拉图实体）是一组凸面多面体，其特性是局部的每个顶点都像其他顶点，其面是规则的多边形，也许不是所有面数都相同。令人惊讶的是，直到开普勒（1571-1630）的工作才出现了完整的重建，他发现了13个这样的实体，尽管人们可以为有14个这样的实体提出理由。帕普斯-阿基米德在古代错过了一个。阿基米德实体的现代定义将其定义为具有对称群的凸面多面体，在该对称群下所有顶点都相同。使用这个定义，共有13个实体，但没有什么理由相信古希腊的几何学家是以群组的形式来思考的，而不是以局部顶点等价的形式来思考的，也就是说，每个顶点周围的面的形态是相同的。

在现代，多面体激发了艺术家和数学家对艺术的兴趣。受多面体的启发，Stewart Coffin创造了一系列奇妙的拼图设计，需要将他设计的稀有木材拼在一起形成多面体。Coffin的谜题因其作为谜题的独创性和它们的美丽而引人注目。这种美反映了多面体物体本身的美，也反映了他用来制作拼图的稀有木材的美。Coffin在选择众所周知的多面体的对称变体时表现出了创造性。像激励了许多其他人的埃舍尔一样，科芬的工作也激励了其他人。好的谜题会产生与美丽的数学所激发的同样的惊奇感。乔治·哈特(George Hart)的背景是计算机科学，他提供了一个对多面体的数学理论做出贡献的人的最新例子，同时他利用自己作为雕塑家和艺术家的技能，创作出受多面体物体启发的原创作品(图17)。

图17乔治·哈特的雕塑。(乔治·哈特提供)

另一位受多面体、对称和拓扑现象启发的艺术家是芭丝谢芭·格罗斯曼。她的艺术样本如下(图18)。

图18芭丝谢芭·格罗斯曼的雕塑。（维基百科提供）

制作具有规则性的多面体精确模型有着悠久的传统。在数学会议上，几何学家们通常会展示一个模型室，在这里，喜欢建造模型的数学家/艺术家们可以展示物理形态的几何之美。它们补充了人们心目中这些几何物体的美。熟练的模型制作者手中的多面体实体之美造就了真正的艺术作品。Magnus Wenninger(1919–2017)是几本关于模型制作的书籍的作者。他的模特特别漂亮。这里有一个小样本，它仅暗示了温宁格多年来制造的各种模型(图19)。他的“星状”多面体模型尤其引人注目。

图19 Magnus Wenninger制作的对称多面体模型样本。(马格努斯·温宁格提供，现已去世)

平面密铺是一种将平面无孔或与各种形状重叠的填充方式。例如，我们可以用任何三角形的全等副本来铺设平面，更令人惊讶的是用任何简单四边形的全等副本来铺设平面，无论是否凸起。瓷砖与人们在织物、地毯和墙纸上发现的艺术设计密切相关。尽管早在古代就有零星的平面密铺的不同方法，但与理解多面体所做的工作相比，平面密铺的理论令人惊讶地很少。开普勒在密铺方面做了重要的工作，但从他的时代到19世纪末，所做的工作相对较少。不幸的是，关于密铺的工作不仅是零星的，而且往往是不完整的或误导性的。Branko Grünbaum（1929-2018）和Geoffrey Colin Shephard（1927-2016）的巨著《密铺与图案》的出版，改变了这一状况。许多新的密铺问题得到了处理和解决，并产生了各种软件工具，用于创建不同种类的密铺（以及多面体和打游戏）。Daniel Huson和Olaf Fredrichs（RepTiles）以及Kevin Lee（Tesselmania）开发了非常好的密铺程序，但是这些软件过去的一些地点已经不再支持了。

受数学启发的最新艺术来源与剖分有关。这里的观点的一个很好的起点是著名的Bolyai-Gerwien-Wallace定理。它指出，平面上的两个(简单)多边形A和B具有相同的面积，当且仅当可以将其中一个多边形切成有限数量的多边形块并将这些块组装成另一个多边形时。在一个方向上，这个结果很简单：如果一个人把多边形A切成碎片，这些碎片将组装成多边形B，那么B的面积与A的面积相同。令人惊喜的是，如果A和B有相同的面积，那么你可以把A切成有限多个多边形块，然后重新组装得到B。艺术是从哪里来的？给出两个面积相同的多边形，人们可以要求Bolyai-Gerwien-Wallace定理的两个扩展：

A.找出A可以被切割和重组成B的最小数量的碎片。

B.找出具有吸引人的特性的碎片，A可以被切割并重组成B。这些特性可能是所有的碎片都是全等的，相似的，或者有通过一些吸引人的几何变换联系在一起的边。

Greg Frederickson收集了大量关于如何将一个形状的多边形分割成相同面积的其他多边形的资料。这些分解集中于将正多边形(可能是凸形或“星形”)分解成其他正多边形。人们可能会认为这些物体的数学规律性会带来美学上的解决方案。事实证明是这样的。

弗雷德里克森还描述了如何通过一种合适的机制，解决如何将一个多边形产生的碎片连接起来，并移动它们，以便它们创建另一个多边形。这些剖分被称为铰链式剖分。第一种将脑海中浮现的碎片连接在一起的方法是将碎片连接到它们的顶点。有这种铰链剖分的可爱例子，包括那些通过展示如何在直角三角形的两条腿上切割正方形并在斜边上组装成正方形来几何证明毕达哥拉斯定理的例子。然而，还有另一种巧妙的方法来制作铰链。这涉及到铰接边，以便沿这两条边连接的多边形可以相对于彼此旋转。这种类型的铰链被称为扭转铰链。弗雷德里克森安排了几个非常吸引人的铰链剖分，以物理方式实现，剖分的多边形部分由美丽的木材制成。这些物理模型因其美丽而在剖分背后的数学上大做文章。例如，在弗雷德里克森委托进行的一种物理实现的铰链剖分中，带孔的正六边形被扭曲铰链剖分成具有相同面积的孔的六角形。

这种剖分背后的数学原理是一种将一个有孔的六边形剖分成一个有孔的六边形的方法。基于这种剖分，弗雷德里克森巧妙地制作了一种铰链扭转剖分。这个吸引人的物体(图20)作为拼图并不是很有趣，但当人们观看两个形状之间的意想不到的变化时，就会产生一种可爱的效果，因为一个人操纵扭转铰链的碎片。

图20格雷格·弗雷德里克森的“柔性”雕塑的三个位置，它将一个带孔的凸六边形变成了一个带孔的“星形”六边形。(格雷格·弗雷德里克森提供)

折纸

传统的折纸是将一张纸折叠成复杂的形状，通常是动物或具有代表性的东西。然而，Tomoko Fusè通过普及“模块化”折纸，从数学的角度彻底改变了折纸世界。在模块化折纸中，通常从相等的纸张(通常，但不总是，正方形)开始，然后将它们折叠成相同的“单元”。然后这些单元被“编织”在一起，形成高度对称的物体，如多面体、瓷砖或盒子。通过使用适当的颜色，人们通常可以构建具有迷人对称性的各种多面体和瓷砖的迷人纸模型。单位折纸的创造性在于已经开发出来的独创性面板以及这些面板可以组装的方式。Fusè的书出现在书店的“艺术区”。有趣的是，对于有折纸经验的人来说，由于折纸折叠教学系统的普适性(例如，山折、谷折等符号)，Fusè的那些没有被翻译成英文的书籍仍然有用。

伴随着折纸结构的艺术方面，折纸的数学理论也得到了平行发展。这采取了许多方法。关于使用传统的欧几里得建筑工具直尺（无刻度的尺子）和圆规可以画出什么平面图形的详尽的数学理论有一个折纸的同伴。使用有关折纸的各种规则（公理）可以构建哪些形状？Thomas Hull、Erik Demaine和其他人也研究了与折叠和折纸有关的问题。一个主要的兴趣领域是研究可以 "平折 "的折痕模式（纸上的线条系统）。所需的数学涉及的思想和方法与过去试图理解一块平面（折纸的正方形）如何被几何变换所改变的方法有些不同，因为在变换结束时，折纸的部分会相互接触，尽管它们不会相互渗透到纸的其他部分。

折纸领域有一个非常惊人的例子。假设允许人们在将一张纸折平后沿直线进行切割，目的是将切下的碎片打开。这样可以得到什么形状的碎片呢？令人惊讶的答案是，人们可以得到任何由顶点和直线段组成的图形，这些图形都可以在平面上画出来! 例如，人们可以剪出一些平凡的东西，如字母 "I "或蝴蝶的轮廓。这个结果最初是由Erik Demaine、Martin Demaine和Anna Lubiw开发的。随后，Marshall Bern、Erik Demaine、David Eppstein和Barry Hayes对该结果提出了不同的方法。

人们可以用模块折纸制作许多不同种类的多面体物体。下面是海伦娜-维里尔的折纸模型样本（图21）。

图21：经Helena Verrill许可使用的模型。(Helena Verrill提供)

多面体的折纸模型采用的方法是，人们制作的面板成为多面体的面，因此，挑战变成了制作具有不同边数和相同边长的面板。人们还可以制作 "金字塔 "式的多面体。我的意思是，实体代表凸面多面体，每个面都竖立着金字塔。(这些不是几何学家使用这个术语的通常意义上的星形。)其他像这样的多面体强调多面体的边缘，本质上是作为多面体的刚性棒状模型。它们类似于达芬奇为演示使用新兴的透视法绘制多面体的技术而绘制的图纸。

除了是美丽的物体外，许多可以用折纸制作的多面体都暗示了有趣的数学问题。作为一个简单的例子，人们可以用六个单元的折纸片来制作一个立方体。如果这六块纸都是相同的颜色，那么人们只能制作一种 "类型 "的彩色立方体。假设一个人有三种颜色的面板和三种颜色的面板。你能做出多少个不相等的立方体？

下面的图表显示了一个基于托马斯赫尔的想法，由乔吉拉迪折叠的折纸结构。在数学层面上，人们看到的是由美元钞票折叠而成的嵌套四面体集合(图22)。许多人还看到了一件艺术品!

图22：经乔·吉拉迪许可使用。(乔·吉拉迪提供)

在上面的讨论中，我已经描述了数学和艺术之间联系的冰山一角。这些联系对数学和艺术都有好处，并将继续发展和繁荣。

沟通艺术与数学的世界

一段时间以来，有一个名为 "Bridges "的组织，其目标是促进艺术和数学之间的联系。Bridges 组织有一个年度会议，并在网上发布会议上的许多会谈记录，其中包括许多受到数学启发的艺术样本，以及帮助艺术家使用数学的主题。美国数学学会多年来一直在其年度联合数学会议上赞助基于数学的艺术（包括纺织品）展览。这包括为在联席会议上展出的最佳艺术作品设立一个 "评委 "奖制度。这个展览与Bridges 组织一起继续创造激励和兴趣，以培养数学家艺术家和受数学启发的艺术。

参考文献

连接艺术和数学的文献尤其分散且多样。这里所列举的只是作为一个小样本。有许多与此相关的在线网站，特别是Bridges网站。

Abas S, Salman A (1995) Symmetries of islamic geometrical patterns. World Scientifific, Singapore

Anderson K (1992) Brook Taylor’s role in the history of linear perspective. Springer, New York

Auckly D, Cleveland J (1995) Totally real origami and impossible paper folding. Am Math Mon 102:215–226

Bangay S (2000) From virtual to physical reality with paper folding. Comput Geom 15:161–174

Bartashi W (1981) Linear perspective. Van Nostrand, New York

Berne M, Hayes B (1996) The complexity of flflat origami. In: Proceedings of 7th ACM-SIAM symposium on discrete algorithms, pp 175–183

Bixler N (1980) A group theoretic analysis of symmetry in two-dimensional patterns from Islamic art, Ph.D. Thesis, New York University

Boehm W, Prautzsch H (1994) Geometric concepts for Geometric Design. A. K. Peters, Wellesley

Booker P (1963) A history of engineering drawing. Chatto & Windus, London

Bool F, Ernst B, Kist J, Locher J, Wierda F, Escher MC (1982) His life and complete graphic work. Harry Abrams, New York

Botermans J, Slocum J (1986) Puzzles old and new. University of Washington Press, Seattle

Bourgoin J (1973) Arabic geometrical pattern & design. Dover, New York

Coffifin S (1990) The puzzling world of polyhedral dissections. Oxford University Press, New York

Comar P (1992) La Perspective En Jeu: les dessous de limage. Découvertes Gallimard Sciences, Paris

Coxeter H et al. (eds) (1986) M.C. Escher: art and science. North-Holland, Amsterdam

Crannell A, Frantz M (2000) A course in mathematics and art. J Geosci Educ 48:313–316

Cromwell P (1997) Polyhedra. Cambridge University Press, London

Crowe D (1971) The geometry of African art, I. Bakuba art. J Geom 1:169–182

Crowe D (1975) The geometry of African art, II. A catalog of Benin patterns. Hist Math 2:253–271

Crowe D (1981) The geometry of African art, III: the smoking pipes of Begho. In: Davis C et al.

(eds) The geometric vein, (Coxeter Festschrift). Springer, New York

Crowe D (1986) The mosaic patterns of H. J Woods. In: Hargittai I (ed) Symmetry: unifying human understanding. Pergamon, New York, pp 407–411

Crowe D (1994) Tongan symmetries. In: Morrison J, Garaghty P, Crowl L (eds) Science of pacifific

island peoples, part IV, education, language, patterns and policy. Institute of Pacifific Studies, Suva

Crowe D, Nagy D (1992) Cakaudrove-style masi kesa of Fiji. Ars Textrina 18:119–155

Crowe D, Torrence R (1993) Admiralty Islands spear decorations: a minicatalog of pmm patterns. Symmetry Cult Sci 4:385–396

Crowe D, Washburn D (1985) Groups and geometry in the ceramic art of San Ildefonso. Algebras Groups Geom 3:263–277

Davies C (1857) A treatise on shades, shadows, and linear perspective. A. S. Barnes and Burr, New York

Demaine E (2001) Folding and unfolding linkages, paper, and polyhedra. In: Akiyama J, Kano

M, Urabe M (eds) Discrete and computational geometry, vol 2098. Lecture notes in computer science. Springer, New York, pp 113–124

Demaine E, Demaine M (2001) Recent results in computational origami. In: Proceedings of 3rd international meeting of origami science, math and education (held in Monterey, CA., March)

Demaine E, Demaine M, Lubiw A (1998) Folding and cutting paper. In: Akiyama J, Kano M, Urabe M (eds) Japan Conference on Discrete and Computational Geometry, vol 1763. Lecture notes in computer science. Springer, New York, pp 104–117

Demaine E, Demaine M, Mitchell J (2000) Folding flflat silhouettes and wrapping polyhedral packages: new results in computational origami. Comput Geom Theory Appl 16:3–21

Descargues P (1982) Perspective: history, evolution, techniques. Van Nostrand, New York

Dress A, Huson D (1991) Heaven and hell tilings. Struct Topology 17:25–42

Eastwood M, Penrose R (2000) Drawing with complex numbers. ArXiv: Math, 0001097

Edgerton S (1975) The renaissance rediscovery of linear perspective. Basic Books, New York

El-Said I, Parman A (1976) Geometric concepts in islamic art. World of Islam Festival, London

Emmer M (1984) M.C. Escher: geometries and impossible worlds; M.C. Escher: symmetry and space, 16mm fifilms. International Telefilm Enterprises, Toronto

Emmer M (ed) The visual mind. MIT Press, Cambridge (1993)

Ernst B (1976) (Hans de Rijk), The magic mirror of M. C. Escher. Random House, New York

Ernst B (1992) (Hans de Rijk), Optical illusions. Benedict Taschen Verlag, Koln

Fahr-Becker G (2000) Owienero Werkstaette, Köln

Farmer D (1996) Groups and symmetry. American Mathematical Society, Providence

Federov E (1891a) Symmetry in the plane. In: Proceedings of the imperial Saint Petersburg society, series 2. 28, pp 345–389 (in Russian)

Federov E (1891b) Symmetry of regular systems of fifigures. In: Proceedings of the imperial Saint Petersburg society, series 2, 28, pp 1–146 (in Russian)

Field J (1985) Giovanni Battista Benedetti on the mathematics of linear perspective. J Warburg Courtauld Inst 48:71–99

Field J (1987) Linear perspective and the projective geometry of Girard Desargues. Nuncius 2:3–40

Field J (1988) Perspective and the mathematicians: Alberti to Desargues. In: Hay C (ed) Mathematics from manuscript to print. Oxford University Press, New York, pp 236–263

Field J (1993) Mathematics and the craft of painting: Piero della Francesca and perspective. In: Field J, James F (eds) Renaissance and revolution: humanists, craftsmen and natural philosophers in early modern Europe. Cambridge University Press, London, pp 73–95

Field J (1995) A mathematician’s art. In Piero della Francesca and his Legacy. In: Lavin M (ed) Studies in the history of art, number 48, center for the advanced study of the visual arts. National Gallery of Art, Washington, pp 177–197

Field R (1996) Geometric patterns from Churches & Cathedrals. Tarquin, St. Albans

Field J (1997) The invention of infifinity: mathematics and art in the renaissance. Oxford University Press, New York

Field R (2004) Geometric patterns from islamic art & architecture. Tarquin, Norfold

Field J, Gray J (1987) The geometrical work of Girard Desargues. Springer, New York

Frantz M (1998) The telescoping series in perspective. Math Mag 71:313–314

Frederickson G (1997) Dissections plane & fancy. Cambridge University Press, New York

Frederickson G (2002) Hinged dissections: swinging & twisting. Cambridge University Press, New York

Frederickson G (2001) Geometric dissections that swing and twist. In: Akiyama J, Kano M, Urabe M (eds) Discrete and computational geometry, vol 2098. Lecture notes in computer science. Springer, New York, pp 137–148

Gasson P (1983) Geometry of spatial forms: analysis, synthesis, concept formulation and space vision for CAD. Ellis Horwood, New York

Gamwell L (2006) Mathematics + Art: A cultural history. Princeton U. Press, Princeton

Gerdes P (1999) Geometry from Africa. Mathematical Association of America, Washington

Glassner A (1999) Andrew Glassner’s notebook: recreational computer graphics. Morgan Kaufmann, San Francisco

Gray J (1979) Ideas of space: Euclidean, Non-Euclidean, and relativistic. Oxford University Press, London

Grünbaum B (1994) Regular polyhedra. In: Grattan-Guinness I (ed) Companion encyclopedia of the history and philosophy of the mathematical sciences. Routledge, London, pp 866–876

Grünbaum B, Shephard G (1986) Is there an all-purpose tile? Am Math Mon 93:545–551

Grünbaum B, Shephard G (1987) Tilings and patterns. Freeman, New York

Grünbaum B, Grünbaum Z, Shephard G (1986) Symmetry in moorish and other ornaments. Comput Math Appl 12:641–653

Grünbaum B, Shephard G (2016) Tilings and patterns, Second edition. Dover, New York

Gurkewitz R, Arnstein B (1995) 3-D geometric origami: modular polyhedra. Dover, New York

Hanson R (1995) Molecular origami: precision scale models from paper. University Science Books, Sausalitio,

Hargettai I (ed) (1986) Symmetry1: unifying human understanding. Pergamon, Oxford

Hargettai I (ed) (1989) Symmetry2. Pergamon, Oxford

Hargittai I (ed) (1992) Fivefold symmetry. World Scientifific, Singapore

Holden A (1991) Shapes space and symmetry. Dover Press, New York

Hull T (1994) On the mathematics of flflat origamis. Congr Number 100:s215–224

Hull T (1996) A note on “impossible” paper folding. Am Math Mon 103:240–241

Jablan S (1995) Mirror generated curves. Symmetry Cult Sci 6:275–278

Jones O (1856) The grammar of ornament, day and son, London, 1856, reprint, Studio Editions, London (1988)

Kaplan C, Salesin D (2000) Escherization, international conference on computer graphics and interactive techniques. In: Proceedings of the 27th annual conference on computer graphics and interactive techniques, association of machinery

Kappraff J (1990) Connections. The geometric bridge between art and science. McGraw Hill, New York

Kemp M (1990) The science of art: optical themes in western art from brunelleschi to seurat. Yale University Press, New Haven

Kinsey L, Moore T (2002) Symmetry, shape and space. Key Curriculum Press, Emeryville

Lang R (1996) A computational algorithm for origami design. In: Proceedings of 12th symposium on computational geometry. ACM, New York, pp 98–105

Lindberg D (1976) Theories of vision from Al-Kindi to Kepler. University of Chicago Press, Chicago

Liu Y (1990) Symmetry groups in robotic assembly planning, Ph.D. Thesis, University of Massachusetts, Amherst

Locher J (ed) (1972) The world of M. C. Escher. Harry Abrams, New York

MacGillavery C (1976) Fantasy and symmetry: the periodic drawings of M.C. Escher. Harry Abrams, New York

Mainzer K (1994) Symmetries in mathematics. In: Grattan-Guinness I (ed) Companion encyclopedia of the history and philosophy of the mathematical sciences. Routledge, London, pp 1612–1623

Makovicky E (1989) Ornamental brick work, theoretical and applied symmetrology and classification of pattern. Comput Math Appl 17:995–999

Martin G (1992) Transformation geometry. Springer, Berlin

Miura K (ed) (1997) Origami science and art. In: Proceedings of the second international meeting of origami science and scientifific origami, Seian University, Otsu, Shiga

Niggli P (1924) Die Flachensymmetrien homogener diskontinuen. Zeit. f. Kristallographie 60: 283–298

Niggli P (1926) Die regelmassige Punkverteilung langs einer Geraden in einer Ebene. Zeit. f. Kristallographie 63:255–274

Ouchi J (1977) Japanese optical and geometric art. Dover, New York

Ornes S (2019) Math Art: Truth, beauty, and equations. Sterling, New York

Penrose L, Penrose R (1958) Impossible objects: a special type of illusion. Br J Psychol 49:31

Peterson I (2001) Fragments of infifinity: a kaleidoscope of math and art. Wiley, New York

Polya G (1924) Uber die Analogie der Kristallsymmetrie in der ebene. Z Kristall 60:278–282

Rowe C, McFarland J (1939) Engineering descriptive geometry, 2nd edn, 1953. Princeton University Press, Princeton

Salenius T (1978) Elementart bevis for pohlkes sats. Nordisk Matematisk Tidskrift 25–26:150–152

Sarhangi R (ed) Bridges: mathematical connections in art, music, and science, conference proceedings, yearly, 1998–2001

Sarnitz A (2007) Hoffmann, Taschen, Köln

Schaaf W (1951) Art and mathematics: a brief guide to source materials. Am Math Mon 58: 167–177

Schattschneider D (1978a) Tiling the plane with congruent pentagons. Math Mag 51:29–44

Schattschneider D (1978b) The plane symmetry groups. Their recognition and notation. Am Math Mon 85:439–450

Schattschneider D (1980) Will it tile/try the conway criterion! Math Mag 53:224–233

Schattschneider D (1986) In black and white: how to create perfectly colored symmetric patterns. Comput Math Appl 12B:673–695

Schattschneider D (1987) The Polya-Escher connection. Math Mag 60:293–298

Schattschneider D (1988) Escher: a mathematician in spite of himself. In: Guy R, Woodrow R (eds) The lighter side of mathematics. Mathematical Association of America, 1994, pp 91–100. (Reprinted from Structural Topology 15:9–22)

Schattschneider D (1990) Visions of symmetry. W. H. Freeman, New York

Schattschneider D, Walker WMC (1987) Escher kaleidocycles. Pomegranate Artbooks, Rohnert Park

Schreiber P (1994) Art and architecture. In: Grattan-Guiness I (ed) Companion encyclopedia of the history and philosophy of the mathematical sciences. Routledge, London, pp 1593–1611

Senechal M (1975) Point groups and color symmetry. Z Kristall 142:1–23

Senechal M (1979) Color groups. Disc Appl Math 1:51–73

Senechal M, Fleck G (eds) (1974) Patterns of symmetry. University Massachusetts Press, Amherst

Shubnikov A, Koptsik V (1974) Symmetry in science and art, Nauka, Moscow, 1972. Plenum Press, New York

Stevens P (1981) Handbook of regular patterns. MIT Press, Cambridge

Stewart I, Golubitsky M (1992) Fearful symmetry – is god a geometer? Blackwell, Oxford

Taylor R, Micolich A, Jones D (1999) Fractal analysis of Pollock’s drip paintings. Nature 399:422

Termes D (1998) New perspective systems, (privately published). Spearfifish, South Dakota

Van Delft P, Botermans J (1978) Creative puzzles of the world. Harry Abrams, New York

Veltman K (1986) Linear perspective and the visual dimension of science and art. Deutscher Kunstverlag, Munich

Videla C (1997) On points constructible from conics. Math Intell 19:53–57

Washburn D (1990) Style, classifification and ethnicity: design categories on Bakuba raffifia cloth. American Philosophical Society, Philadelphia

Washburn D, Crowe D (1988) Symmetries of culture. University Washington Press, Seattle

Washburn D, Crowe D (eds) (2004) Symmetry comes of age. University Washington Press, Seattle

Wenninger M (1971) Polyhedron models. Cambridge University Press, New York

Wenninger M (1983) Dual models. Cambridge University Press, New York

Weyl H (1952) Symmetry. Princeton University Press, Princeton

White J (1987) The Birth and rebirth of pictorial space, reprinted. Harvard University Press, Cambridge

Wittkower R, Carter B (1953) The perspective of Piero della Francesca’s “Flagellation,”. J Warburg Courtauld Inst 16:292–302

Yen J, Sequin C (2001) Escher sphere construction kit. In: Proceedings of the 2001 symposium on interactive 3D graphics. ACM, pp 95–98

Zaslavsky C (1973) Africa counts: number and pattern in African culture. Lawrence Hill Books, Brooklyn

Joseph Malkevitch, Mathematics and Art: Connecting Mathematicians and Artists