作为艺术灵感的Rigge包络线

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

许多艺术家在他们的作品中使用数学曲线来生成线条，他们使用利萨茹斯图形或摆线。数学家威廉·里格（William Rigge）在1920年的《美国数学月刊》上发表了一篇论文，介绍了一种新的技术，他称之为包络线。在这篇论文中，我研究了他所做的事情，并发展了一些艺术，将他的想法带到其他方向。

简介

曲线的机械生成一直是许多艺术形式的一个特点。十九世纪发明了基于摆锤的谐波仪，Bob Brill在他的Lissajous图形工作中使用了计算机版本[1]。有许多以车床为基础的机器产生了Rose Turning机器，还有齿轮机制（几何卡盘）也被开发出来，特别是在19世纪，这基本上是滚动圆的机制。Robert Craig在2006年的Bridges会议上讨论了一个例子[3]，在十九世纪的一些书籍中也发表了一些例子，Savory[4]是一个值得注意的例子。Edwards[5]介绍了一些历史，并通过一套BASIC程序将这一主题带到了今天，以绘制许多变化。这些程序倾向于属于更多的装饰性和观赏性目的，而不是数学和艺术的光谱中的数学方面。读者也会熟悉摆线的设计，如Spirograph等玩具，其中齿轮圆在其他圆上滚动；齿数的比例意味着需要一定数量的旋转来关闭曲线。杰克-泰特（Jack Tait）关于他在可编程绘图机上的工作的论文，其结果是他称之为Taitographs[8]的作品，处于这个频谱的艺术一端，因为他是来自艺术背景。

我的出发点是William F. Rigge在1920年发表的一篇论文[6]，该论文探讨了生成曲线的问题，乍一看可能与上面提到的摆线有关，因为他用摆线作为曲线的例子。他的方法适用于任何极坐标曲线，因为他修改了径向向量。作为一名天文学家，Rigge在他的大学出版的一本书中给出了更多的细节和关于他建造的一台机器（使用齿轮）来绘制曲线的描述[7]。人们所知道的克里顿机器仍然存在。里格对他生成曲线时产生的包络的数学原理感兴趣。我对这种技术感兴趣，以便生成艺术作品。

Rigge，正如他的书名Harmonic Curves所示[7]，研究谐波曲线，他在论文[6]的开头就说，他正在构造具有双谐波运动的曲线。他从一个被称为心形的曲线的极坐标方程开始（它可以作为摆线产生），其极坐标方程为r = 1 - cosθ，并这样修改：r = (1 - cosθ) + (1 - cosmθ) 其中m是一个常数，他将其保持为接近于统一的分数，如15/16或31/32。他说，他得到了一系列的谐波曲线，这些曲线有一个共同的包络。当你绘制曲线时，你会发现事实上它给出了一条连续的封闭曲线，它包络了另一条曲线。他还探索了一些变化，我将用以下两个方程式表示。

r = (1 – cos nθ) + (1 – cos mnθ) (1)

r = (1 – cos nθ) - (1 – cos mnθ) (2)

其中n是整数，以使基本曲线有更多的裂片。图1展示了一些例子。

图1a-i，基本的Rigge曲线

图1中使用的方程和变量值如下。

图1a的方程1为m=1和n=1，

图1b的方程1为m=15/16和n=1。

图1c方程2，m=15/16，n=1。

图1d、1e和1f与1a、1b和1c相对应，但n=2。

图1g、1h和1i对应于1a、1b和1c，但n=3。

关于Rigge的第一种变化

一个艺术家经常画很多草图，以达到一个艺术品的目的。对于这种类型的绘图，可以改变变量，并使用其他的极坐标方程，但这些往往会产生 "更多相同的东西"。在计算机上，曲线被绘制成一系列连续的短线。θ的增量值被选择并定义了线条的平滑度，并被确定为2π的除数，即方程被绘制为连续的角度2π/q；在图1中，q是600。将q变得非常小会改变绘图的形状。因此，在图2中，除了右下角的图，所有的图都是基于方程1的，m=31/32，n=3。将最上面一行的左边与图1的底部中间进行比较。这表明m是如何改变曲线的。底排右边的曲线有方程1，m=31/32，n=2。

图2中使用的定义增量角的q值（见上文）如下

图2a、2c和2e的q值等于100，图2b、2d和2f的q值等于10

Rigge指定了一个接近于统一的m值，在他的例子中使用15/16或31/32。这就改变了包络，如图1h和图2a的可比曲线所示，这两条曲线的n=2，m分别为15/16和31/32。没有必要拘泥于这种限制，例如，即使是2/3也能得到有趣的结果。

图2a-f，增加增量绘图角度的变化。

使用圆作为基础曲线

圆可能看起来不是一条可以使用的曲线，因为它有极坐标方程r=a，原点在圆心。然而，极坐标方程r = asinθ和r = acosθ也给出了圆，但原点在圆周上；在第一种情况下，圆在原点处与X轴相切；在第二种情况下与Y轴相切。使用Rigge方法，这两个方程都可以被修改。图3显示r = sinθ +sin mθ，m= 15/16。相等的r = cosθ+cos mθ给出了同样的结果，但旋转了90°。这是一条单一的封闭曲线，但看起来与画心形包络的标准方法非常相似，即从一个圆和圆上的一个固定点（成为尖点）开始，在圆上画出中心穿过固定点的离散圆。这看起来也好像与图1c一样（是吗？可以采用改变增量角度的方法，即如图2所述的改变q，图3的右边是一个例子。

图3：Rigge方法应用于圆和变化增量

这个增量让我想起了Savory[4]中的一个例子，这个例子的一个版本是我多年前研究螺旋线时创造的。我取了一个圆（以原点为中心），在半径上加了一个正弦波，用扩张和旋转重复这个过程以得到螺旋。图4是结果，使用方程r = a + bsin kθ，k = 5，a = 1，b = 0.1，b定义了波的振幅。图5左边的两个例子来自Savory，显示了同样的效果。第一个，第49号，是一个正确的波；第二个，第45号，似乎是用正弦波的绝对值来做一个尖峰。第三个例子我没有分析，但它是唯一一个看起来接近于Rigge 曲线而不是摆线曲线的例子。

图4波+螺旋

图5，来自Savory的示例

这些例子暗示了Rigge方法的其他变体。第一种是在一种或两种情况下使用正弦波的绝对值，给出三个方程r=abs(sinθ)+sin mθ，类似地，r=sinθ+abs(sin mθ)和r=abs(sinθ)+abs(sin mθ)。如图6所示，m=15/16。

图6a, 6b和6c，使用带圆圈的绝对值

二维空间中的更多可能性

可能性是无限的。三角函数可以像圆形例子一样变为绝对函数，图7显示了一些结果。我用很小的变化创建了这么多，并且记录参数的速度很慢，所以我不确定我是如何产生这些参数的。里格的想法也不需要坚持，他的想法是通过保持m接近统一来获得类似于进动的东西，例如，旋转的顶部失去了能量。图8显示了一些示例。在所有情况下都使用公式(1)；对于图8a，m=2/3和n=1；对于图8b，m=3/5，n=2；对于图8c，m=8/17和n=3；以及图8d，m=17/8和n=3。第二个也令人惊讶。

图7a、7b和7c，使用Rigge方程的绝对值

图8a、8b、8c和8d，使用不同的m值。

另一种可能是混合曲线，这样附加功能就可以与原始功能无关。这会改变“图案”，但不会改变整体形状。图9显示了由图9a的基本公式4给出的关于Folium的变型的示例。接下来，图9b使用公式5，显示用余弦项修改的Folium方程，其m=15/16。然后，图9c(公式6)是Folium方程的正弦版本，加上m=15/16。最后，图9d(公式7)添加了心形方程，也是m=15/16。

r = cos θ.cos 2θ (4)

r = cos θ.cos 2θ + cos mθ (5)

r = cos θ.sin 2θ + sin mθ.sin 2mθ (6)

r = (cos θ.cos 2θ) + (1 – cos mnθ) (7)

图9a、9b、9c和9d添加了不同的曲线(参见键的文本)

迈向三维化

同样的想法也可以应用于曲面方程。然而，由于我们生活在三维空间中，除非材料是透明的，否则我们只能看到外壳。在平面上的二维曲线的情况下，我们是从第三维看的，所以我们看到的是完整的曲线。当你在太空中时，了解结果的一种方法是将表面切成两半。图10中显示了一个例子，它对心形曲线使用了方程的球面坐标修改。它是使用K3DSurf曲面生成器程序渲染的[9]。这张静态图像不足以很好地理解表面。你得把它移开。

图10：K3DSurf的心形曲面

第二种方法是对曲线应用函数以获得z坐标。在绘制所有曲线时，我使用了参数方程，因此我使用了极方程r=f(θ)，然后使用x=r cos(θ)和y=r sin(θ)在笛卡尔坐标下绘制。对于三维曲线图，我添加了第三个参数z=sin(mθ)，其中m是Rigge使用的参数。作为一条细线，它们很难解释为二维快照，立体对也不能很好地解释它们。复杂到你必须在空间中移动它们，这样大脑才能构建三维结构。我发现VRML是这方面的理想选择。此外，通过绘制非常粗的线条(在线条周围放置管道)，然后渲染图像，可以获得不同的效果。以这种方式处理时，图1中心的心形曲线如图11所示。

图11：带管道的心形曲面

M的值定义线条的密度。这如图12所示，其中，图3中心的三瓣曲线分别具有不同的值m、3/4、7/8和15/16。这允许从单个基本曲线定义构建一系列雕塑。他们还提出了珠宝的各种可能性。

图12a至d：带有管道的三个凸面，m=3/4、7/8、15/16，俯视图

我已经创作了一些表面的纸雕。我通常是用薄片做的，所以叫薄片。我在寻找一种方法来制作这些表面的剪切面。我制作的这张图是从Rigge包络线开始的，它使用了一个椭圆，它给出了如图13所示的管道线面。我通过取一系列平行平面并与三维曲线相交来创建切片。接合时产生的点形成了一条曲线，这条曲线形成了切片。如图13所示，表面是开放的；因此我连接了开口两边的点。生成的SliceForm如图14所示。

图13：从Rigge包络线开始的表面，使用一个椭圆形，带有管道线

图14：图13中表面的Sliceform版本

这篇论文只展示了几个例子，只是这个问题的冰山一角。

参考文献

[1] Bob Brill, “The Endless Wave”, Bridges Proceedings 2002, p 56.

[2] John Sharp, “Linkages to Op-Art”, Bridges Proceedings 2006, p XX.

[3] Robert Craig, "The Mechanical Drawing of Cycloids, The Geometric Chuck"; Bridges Proceedings 2006, p 203.

[4] H.S., SavoryGeometric Turning:Comprising a Description of the New Geometric Chuck, Longmans, Green & Co, 1873

[5] Ross Edwards, Microcomputer Art, Prentice-Hall of Australia Pty Ltd

[6] William F. Rigge, "Envelope Rosettes" American Mathematical Monthly, April 1920, pp151-157

[7] William F. Rigge, "Harmonic Curves", Creighton University, Omaha,1926. An electronic copy can be found at www.Hathitrust.org (Accessed Jan 2011)

[8] Jack Tait, “Taitographs - drawings made by machines”, Bridges London Proceedings, 2006 p 403

[9] The K3DSurf surface generator program is available free from http://k3dsurf.sourceforge.net

[10] John Sharp, Rigge Envelopes As Art Inspiration

青山不改，绿水长流，在下告退。

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