用几何图像刺绣术探索对称性

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

1. 介绍和动机

几何图像刺绣术是一门用直线创造图案和曲线的艺术。一种流行的几何图像刺绣术是基于线绳。曲线拼接是由玛丽`布尔在100多年前提出的[1，6]，并以各种方式进行了阐述，包括在20世纪70年代流行的线绳艺术[11]，以及最近用纸笔[5，9]和计算机程序[3，10]。这个概念被称为几何图像刺绣术、曲线拼接、韵律几何、抛物线艺术和线绳艺术。

传统的线绳艺术将非平行线连接成一个抛物线，就像图1(a)中所示，或者围绕一个圆形成一个心脏线，就像图1(d)中所示[4,8,10]。然而，一个人不需要有像抛物线或心脏线这样的几何概念的先验知识，就可以享受弦艺术的乐趣。开发Aestheometry Excel文件是为了让那些刚刚学会直角坐标的学生能够在课外独立探索图形和几何及数字模式的识别，但它很容易适应Excel的课堂环境[2]。该文件模拟了封闭顶点集上的弦乐艺术，如图1（b）和1（c）中的八边形。4ColorAestheometry文件扩展了原始文件，以关注对称性。选择Excel是由于它的普遍性、用户友好性和可扩展性。

图1:一些几何图像刺绣术的基本例子。

由于三个可控参数的简单性，所有数学水平和Excel熟练程度的学生都可以学习和使用此文件：顶点V、细分S和点P。(Excel文件还包括两份1页的讲义，一份用于基本探索，另一份用于更高级的讨论。)。在本研讨会中，从第2节开始，我们将定义这些参数，并观察到更改这三个参数中的任何一个都会改变整个图像，即使底层顶点没有更改。在保持两个参数不变的同时，我们关注第三个参数如何改变图像，例如图1(B)中的“圆”如何通过将P=5更改为P=35(给定V=8和S=9)而变成1(C)中的星形。在第3节中，我们将研究在保持所有三个参数不变的情况下，当底层顶点发生变化时图像是如何变化的。第4节通过检查图像的四色扩展扩展了基本模型，第5节向用户展示了如何有目的地在图像中创建不对称。在每一节中，我们将重点关注新兴模式中固有的各种对称形式。下面的数字建议了每个研讨会练习的值；但是，该文件允许在计算机实验室或个人使用自己的支持Excel的设备的研讨会中进行开放式探索。这个工作坊的目标是指导学员，就像老师指导学生学习新材料一样。例如，研讨会讲师使用此文件授课，并帮助学生了解当参数递增1时，图案可能会发生根本变化的原因(例如，图1(C)中的星号(从P=35生成)在P=36时转换为单行，因为36是该图中V∙S=72的一半)。

2.探索顶点（V）、分区（S）和点（P）之间的相互关系

定义V、S和P

要解释顶点V和点P之间的区别，首先必须理解细分S。形式上，S是两个连续顶点之间(相等)的细分数目。图2是Excel表3a正方形中的图像，该正方形注释了V、S和P。在该图中，S=2，我们在正方形的每一边都有两个大小相等的细分，S.1和S.2。正方形有四个顶点，V=4，从左下角的V.1=(0，0)开始以顺时针方式布局(坐标系被抑制以减少所有图形中的混乱)。顶点提供在其上创建图像的骨架框架。为便于参考，图2中的图像右侧提供了这三个参数的颜色编码定义。

图2：基于V=4、S=2和P=3的单位正方形的注释图像。

本研讨会中的每个图像都是基于从点到点绘制线段。第一条线段，从零点到一点，按以下方式确定：零点总是第一个顶点，P.0=V.1，而一点，P.1，是P.0之后的P个细分点。在图2中，P=3。第二点（和第二条线段）是第一个顶点的三个细分（在P.2=V.4），P.3是P.2的三个细分，以此类推，直到P.8与初始顶点重合（P.8=V.1=P.0）。最后，通过在正方形上绕3圈，就可以映射出一个八角星。由此产生的图像是八点Brunes Star[7]。这个图像在水平和垂直方向上都是对称的。每个顶点和每个细分点都被使用，因为P和V⸱S之间没有公共除数。不同线段的数量N = V⸱S/GCD(V⸱S, P)，其中GCD是最大公除数函数。如果三个参数V、S或P中的任何一个改变，图像就会改变。接下来的三个活动是每次改变一个参数，其他两个参数固定不变。

探索点之间的细分数目P

当点之间的分割数P小于顶点之间的分割数S时，得到的图像总是包含连接顶点的线段的轮廓，作为图像的一部分。图3(a)提供了一个例子，因为P=11<19=S（使用Excel文件中的3a.Square表）。请注意，图3(a)的框架是平滑的，而不是像图2、3(b)和3(c)中P>S的情况那样有锯齿。图3(a)中每个角的曲线创造了一个 "大致 "类似于圆的形状，但实际上是四个抛物线的混合体（而1(b)是八个抛物线的混合体）。图3(a)中的每条曲线都是由10条不属于水平和垂直框架的线段组成的。

图3：基于V=4和S=19的正方形顶点的图像

当S < MOD(P, V⸱S) < (V-1)⸱S时，没有线段位于由顶点创建的框架上（其中MOD是余数函数）。这是因为每个后续的点都必须位于框架的不同部分。对P的限制的原因很容易通过检查C1单元格中的P=65和P=87就可以看出。在这两种情况下，得到的图像与图3(a)相同，因为65 = MOD(-11, 4⸱19)，11 = MOD(87, 4⸱19)）。) 这样的图像可能被认为是 "星形 "的，因为有尖锐的细分点。显然，图3(c)比3(b)尖得多，但两者都可以被描述为76点星。

值得指出的是关于这些图像的其他几件事。图3(b)中有一个内部的正方形，每边离最近的顶点有一个细分。例如，请注意从（0，18/19）到（1，18/19）的水平线，就在第二个和第三个顶点下面。这条线段是在左边的边缘用1个细分，在上面用19个细分，沿着右边的边缘用1个细分创建的。如果你尝试P=23，你会发现在每个顶点内部有一个类似的内部方形的两个细分。图3(b)中的相交曲线都是由17条线段组成的，因为第一条线段是在第二个顶点之后的两个细分开始的。图3(c)是在S=19的情况下可用的最尖锐的点的星，因为37=V⸱S/2-1。当P=38时，图像是一条线（38=4⸱19/2），当P=39时，图像与V=37相同，但现在需要围绕正方形转39圈来创造图像，而不是围绕正方形转37圈。

图3：基于V=4和S=19的正方形顶点的图像。

探索所用顶点的数量V

改变使用的顶点数量V，可以看到图4(d)中的六边形图像是如何使用Excel文件中的5c.6Petal表建立的。要想知道为什么叫6Petal，请设置P=11，与图3(a)中显示的S和P值相同）。顶点位于钟面的偶数小时。前四个顶点分别位于2、8、10和4点钟方向：4(a)中的 "领结 "出现了。接下来的两个顶点交替增加2小时和6小时，所以4（b）有额外的顶点在6点和12点。剩下的六个顶点要求我们 "反其道而行之"，交替减去2小时和6小时，因此4（c）在10点和4点增加了顶点，4（d）在2、8、6和12点增加了顶点。在每个例子中，最后使用的顶点都会连接回初始顶点（在2点钟方向），以创建一个封闭的顶点集。4(a)中四个看似平行的交叉线组之所以出现，是因为在每个面板中，P=23比S=19多出4。

考虑三种对称反射形式：水平、垂直和点。图4(A)和图4(D)显示了所有三种反射形式。图4(B)显示水平但不垂直或点反射，图4(C)显示点反射但不显示水平或垂直反射。当然，如果我们把反射对称性的概念扩大到包括被旋转的轴，那么图4(C)就有60°旋转的对称性。

图4：基于S=19和P=23的底层六角花瓣顶点的图案显现。

探索顶点之间的细分数量S

对于固定的V来说，顶点之间的分割数S决定了图像中段的密度，因为不同段的数量与GCD（V⸱S, P）成反比。使用Excel文件中的5d.8Petal表来研究这个问题。在图5(a)中，S=8可以从两个方面看出。1）八角形的每一面都有8个容易看到的细分，2）图像中有四个不同大小的八角形图案，第一个是外边缘，第四个是中心的几乎是八角形的饼状图案（仔细检查可以发现，这实际上是16面的，因为每个外 "边缘 "是两条交叉的线）。当S=12时，结果是一个非常尖锐的96点星形；图5（b）与图1（c）和3（c）极为相似。除了3(c)中的整体形状外，区别在于有四条较暗的线从顶点到对立的顶点。这些线条颜色较深，因为沿着连接顶点的四条对角线有细分的点，比如从1点左右到7点的那条线。最后的图像，图5(c)，有一个空心的中心，因为S是奇数。

图5:基于V = 16, P = 97的八边形花瓣顶点的图像

3. 探索链接的顶点

我们已经看到了V、S和P是如何改变图形图像的，但是如果我们改变顶点本身的位置会发生什么呢？很明显，图像会发生变化。这种变化可以提供进一步的机会来探索4ColorAestheometry文件的丰富性。图4和图5中的花瓣大小相等，这意味着六边形和八边形的每条边都是一样大的，不管这条边是水平的、垂直的还是对角线的。但情况不一定是这样，从图6中可以看出。图6中的四幅图像只在初始y值的位置上有所不同。图6(c)使用了与图5相同的初始顶点，这就是为什么花瓣的大小相等。顶点在（0.9，0.9/（1+2 0.5））=（0.9，0.3728）。

图6：在（±x0，±y0）和（±y0，±x0）的链接顶点，给定x0=0.9，V=16，S=11，和P=7。

图6是用Excel文件中的5d.8Petal表创建的。通过改变一个数字，即W4单元格中的初始Y值，我们可以改变整个图像，因为初始X和Y值是以适当的顺序与顶点列表中的位置相联系的。如果你在A1单元格中输入V=4、6、8、10和12，并检查产生的图像，你就可以看到顶点顺序。在每个实例中，你都应该能够注意到图像中固有的对称反射类型：水平、垂直、点或旋转。V=14时，GCD(V, P)=7，所以V=14是不可行的）。

与图6(c)中同等大小的花瓣相比，y0=0.5的图6(d)的对角线花瓣较小，水平和垂直花瓣较大，因为水平和垂直顶点对之间的距离为1，然而，对角线顶点对之间的距离为0.566=0.4⸱20.5。图6(a)中的铁十字与图6(d)中的水平和垂直花瓣大小相同，但由于初始y将初始顶点置于第四象限而不是第一象限，所以对角线花瓣更难看到。对角线花瓣是可见的，但它们的高度较小，而且跨越了水平和垂直花瓣（例如，图6（d）中大约1点钟到2点钟的对角线花瓣跨越了图6（a）中大约11点钟到4点钟的位置）。图6(b)中没有水平和垂直的花瓣，因为y0=0。你可以通过设置初始x0=初始y0来消除对角线花瓣。

4. 使用四色开放顶点模型

主工作表，6.FourColor，允许你用你选择的顶点创建独立图像。这为创建有或没有对称内容的图像提供了极大的灵活性。在A1:C4单元格中，V、S和P不是一个值，而是有四个，每种颜色一个值。而且，你可以用最多21个顶点和1,000个线段来创建图像，而不是用最多40个顶点和每种颜色最多2,000个线段。

工作表以顶点打开，向用户展示如何创建单一图像的魔方；在这种情况下，红色是父图像。这种设置允许你创建一个与图5和图6不同的8瓣花：一个有交替形状的花瓣。例如，图7(b)中的对角线花瓣是心形的，因为在红色图像中，有固定的对角线顶点（±1，±1）和（0，0）。相比之下，水平和垂直花瓣是拉长的足球，很像图3(b)，因为P比S略大。

图7：两幅四色图像显示了基于相同底层顶点的内部和跨颜色的对称性。在所有面板中，红色是 "父 "图像，V=28，S=8，P=9。

红色的花的中心被设置为（0，0），关闭±45°顶点是基于B50:B51中的数值，这些数值与B9:B36中的红色顶点相连。其他三个图像被移过，或向上，或移过和向上的移位系数，这在E6:L6中显示。为了让其他图像相互接触，移位系数必须是1、B50和B51的最大值的两倍（=2*MAX(1,B50,B51)在单元格E6）。移位因子被添加到红色的x和/或y值中，以创建新颜色的值。注意，这个加法使用了一个方程式，如果学生不了解Excel对$符号的使用，你可能要向他们解释。绿色的第一个顶点在单元格E9中的x坐标由方程=$E$6+B9给出。E6单元格中的值是x移位因子。这必须加到所有的红色x值中，以创建绿色x值。你可以把E9单元格中的方程拖到E36单元格，这样就可以避免输入28次方程了。Excel在方程中使用$符号，在拖动时固定引用的单元格。这被称为绝对单元格引用，当这个方程被向下拖动时，B9将变为B10，B10将变为B11，等等，但E6不会改变，因为E和6前面有$符号。

当B50<1和B51=1时，边缘相互接触，出现了图7(a)中的方形图案。图7(b)中围绕 "圆形 "中心的 "绳状 "边界是由四个直角角位形成的，P比S大一个（9对8）。顶点角在红色、蓝色、绿色和金色图像中分别为（1，1）、（1，5）、（5，1）、（5，5）。图7(c)只在角上有接触，因为x和y偏离±45°的顶点都小于1。图7(d)的外部顶点基于x=20.5=1.41和y=2-2 0.5=0.59，以便与（1，1）固定顶点一致。结果是一个边长为4-2⸱20.5的正八边形。因此，它的结构与图5和图6（c）相似，但如上所述，这里的花瓣结构是交替的。八角形的外部有12个顶点，因为（±1，±1）是红色的对角线顶点的中点。相比之下，水平和垂直花瓣没有中点顶点。

顶点不需要形成规则的多边形；事实上，它们根本不需要看起来像多边形。母体的红色天际线在图8中的第一象限。因此，这只是将E6:L6中的（加法）移位系数变为（乘法）缩放系数的问题。在图8(a)中，绿色的水平反射是通过将红色的y值乘以-0.6完成的。金色的垂直反射在红色的x值上使用了-0.5的缩放系数，而蓝色图像则使用了这两个缩放系数。在图8(b)中，x和y在第2和第4象限交换，（yred, -xred）产生绿色，（-yred, xred）产生金色。其结果是点状对称的。

图8：两个四色城市景观，V=40，S=10，P=7。

5. 引入不对称性的诀窍

如果你在一行中两次列出相同的顶点，你就会捕捉到该顶点的曲线，如图9（a）所示。图9(a)-9(c)的S和P的值与图3(a)-3(c)相同。图9(b)有一条看似错误的单线从点(1, 1)之前的一个细分到之后的一个细分，但这是因为之前的一个细分+19个细分+之后的一个细分=21，正如P=21所要求的那样。如果你检查P=23，你会发现有3条线开始在(1, 1)处形成涌现的曲线。图9(c)显示了一条顶部和右侧为18/19的曲线（因为18+19=37），原点附近的图像就像图3(c)。每个图像在45°线上都是对称的，但在水平、垂直方向上都不对称，也不通过点反射。

图9：在（1，1）的两个连续顶点创建的不对称方块，给定V=5，S=19。

总结和结论

这个工作坊让个人有机会探索对称性的概念，同时学习4ColorAestheometry Excel文件，该文件用于创建论文中的所有图像(图1(D)除外)。该文件是美学文件的扩展，最初创建该文件是为了允许学生独立探索数学主题，同时创作艺术[2]。这些文件可以用来作为课堂讨论的跳板，讨论绘图、对称性和模式识别。由于许多工作表由三个数字控制，因此可以在各种级别使用它们。同样，许多模式可以在没有正式教授笛卡尔坐标的情况下进行探索。我们的工作坊提供的用户体验可以根据任何用户的兴趣和技能水平量身定做。与其他将审美测量学融入课堂的方法不同，这个工作坊的学生花了大部分或他们的时间创造不同的图案并进行比较，而不是创造一个物体并观察它[8]。

参考文献

[1] M. E. Boole. The Preparation of the Child for Science. Clarendon Press, 1904.

[2] S. E. Erfle, K. A. Erfle, D. L. Eschenmann, and A. K. Jackson. 2019. “Aestheometry: Creating Art while Learning Math using Electronic String.” Available at

https://users.dickinson.edu/~erfle/Aestheometry/Aestheometry_EEEJ.docx

[3] A, Flores. 1999. “Interactive figure for A rhythmic approach to geometry.” Available at

http://www.public.asu.edu/~aaafp/rhythm.html

[4] A. Flores. “The Parabola as the Envelope of a Family of Straight Lines.” PRIMUS, vol. 10, no. 3, 2000, pp. 257-266, DOI: 10.1080/10511970008965964

[5] S. Happersett. “Cartesian Lace Drawings.” Bridges Conference Proceedings, Waterloo, Canada, July 27-31, 2017, pp. 391–394. https://archive.bridgesmathart.org/2017/bridges2017-391.html.

[6] S. Innes. “Mary Boole and curve stitching: a look into heaven.” Endeavour, vol. 28, no. 1, 2004, pp. 36–38.

[7] D. Kozlov. “Eight-Pointed Star and Precise Construction of 7×7 Square Grid.” Bridges Conference Proceedings, Baltimore, USA, July 29–Aug. 2, 2015, pp. 331–334.

https://archive.bridgesmathart.org/2015/bridges2015-331.html.

[8] Making Math Visible. http://makingmathvisible.com/String-Rings/String-Rings.html

[9] J. Millington. Curve Stitching. Norfolk, England: Tarquin Publications, 1996.

[10] J. Nicholson. “Curve Stitching Density Plots.” Bridges Conference Proceedings, Linz, Austria, Jul. 16–20, 2019, pp. 351–354. http://archive.bridgesmathart.org/2019/bridges2019-351.html.

[11] E. L. Somervell. A Rhythmic Approach to Mathematics.Reston VA: NCTM, 1976.

[12] Stephen E. Erfle and Katherine A. Erfle, Exploring Symmetry Using Aestheometry in Classrooms and Beyond

青山不改，绿水长流，在下告退。

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