朗道的超流理论赏析

氦4的超流态是量子流体。朗道因为对氦4的超流态的研究获得诺贝尔物理学奖。从这个工作中我们可以看到朗道处理复杂问题的高超技巧。可以说，是朗道的这个工作使得元激发（准粒子）成为凝聚态低温物理的一个重要范式（Paradigm）。

我们知道，玻色流体由正常部分和超流部分构成。朗道说，正常部分就是声子和旋子的声波量子气体。他还通过一些简单的论证就理解了超流体为什么没有摩檫力，还告诉我们构成正常部分的声子旋子气体是有质量的。声子有质量，这一点是挺费解的。论证这点要用到声子能量在不同参照系中的变换，而这个变换其实是个多普勒效应。解释清楚上面所说的内容，只须用到大学物理的知识就够了。这有点惊人吧？下面，我们就来欣赏一下朗道的理论吧。

图1：氦4的相图。在一个大气压下，温度 以下，氦4变成了超流体，即粘滞性很小的流体。图中液氦II标记的区域都是超流体。液氦I是普通的流体，有粘滞性。

当然超流体也不是全然没有摩檫力，比如一个扭摆放置在液氦II中会感受到摩檫力，但这个摩檫力随温度降低迅速下降。另一方面液氦II可以通过很细的毛细管。普通液体是无法通过毛细管的，只有没有摩檫力的超流体才能通过毛细管。所以，液氦II含有两种成分：一种是正常部分，有摩檫力；一种是超流部分，没有摩檫力。那么液体质量密度可以写成：

其中 分别是正常部分和超流部分质量密度。

这里就会产生许多问题：难道说，氦原子还分正常非正常？朗道告诉我们，不要盯着原子看，这里重要的是原子的集体运动。集体运动的元激发是声子和旋子。流体正常部分是声子和旋子（都是声波量子），随着温度的降低，声子和旋子越来越少，正常部分密度就越来越小了。除了正常部分，剩下的就是超流的部分了。宏观物体和正常部分（也就是声子和旋子的部分）之间有摩檫力，但和超流部分之间没有摩檫力。那么，为什么宏观物体和超流部分没有摩檫力呢？为什么又和声子和旋子之间有摩檫力呢？声子和旋子贡献正常部分的质量，它们是声波量子，怎么会有质量呢？

声子旋子能谱

首先，朗道认为在接近零K的液氦中，声波量子是其中的元激发，它们的能量-动量关系如图所示。动量较小时，能谱为 ，称为声子。动量较大时，能谱为 ，就是在那个凹陷处附近的关系。这部分称为旋子。这个关系是朗道通过分析比热数据猜测得到的。就像普朗克根据实验数据猜处黑体辐射公式一样。这个声子旋子的能谱被后来的中子散射实验证实。通过实验数据得到重要的物理理论的能力似乎是大物理学家的标配。

朗道的超流判据

宏观物体为甚么带不动超流的部分？

当一个宏观物体在接近零K的液氦（几乎全是超流体）中运动时，只要速度不超过一个临界值，就不会有摩檫力，如入无物之境。朗道对这个现象给出了一个非常简单的解释。

考虑一个宏观物体，比如一个质量为 的小球在液氦中运动，速度为。如上左图所示。假设这时 ，液氦中没有声子。如果小球能激发起声子或旋子，就会给液体传递动量和能量，液体对小球就有摩檫力。假设小球激发起了一个声子（波浪线表示声子），如上右图所示。这个声子的动量为,根据动量守恒可知小球的动量变为 ,相应的小球损失的能量为，其中用到了 ，声子动量远远小于宏观物体动量这个事实。小球损失的能量应该等于激发起的声子的能量，即

因为 ,所以上式成立的条件为

根据朗道推出的声波量子的能量-动量关系，可以知道临界速度为上图中所示蓝色虚线的斜率。一般情况下临界值超过40 m/s。朗道判据说的是，当宏观物体运动速度小于临界值时，无法同时满足激发起一个声子时的动量和能量守恒两个条件，所以不会给液氦传递能量和动量，也就没有摩檫力了。

这个论证简单吧？直截了当，一击致命。

为什么声子和旋子是正常部分？

为什么宏观物体可以带动声子？

如上左图所示，一个质量为 的物体在有一个声子的超流液体中运动，声子的动量和能量为 。如果假设物体把这个声子的能量和动量变为 ，如上右图所示。宏观物体损失动量 ，动能损失为

(<<左右滑动查看完整公式>>)

这个损失应该等于声子能量的增加，即

要满足这个条件必须有：

这个临界速度为零，因为分子 可以为零，只要 。不管宏观物体速度多小，都可以给声子和旋子传递动量和能量。所以声子和旋子与宏观物体有摩檫力，是正常部分。

声子旋子气体的质量密度怎么算？

考虑下图情形，在毛细管中的液氦。设想毛细管和流体的相对速度为 ，小于临界速度，无法在超流部分中产生新的元激发,无法给超流部分传递动量和能量。超流部分没有粘滞性，可以通过毛细管。正常部分声子旋子气体能与毛细管交换能量和动量, 毛细管能使液体的正常部分声子旋子气体有一个整体的运动。因为正常部分不可能通过毛细管，被毛细管粘着一起走，所以声子旋子气体整体的运动速度就是毛细管的速度

毛细管参照系中声子的能量 和流体参照系中声子的能量 满足

（为什么？下面再讨论这个问题），所以声子旋子数分布为

显然这个分布是各向异性的，动量顺着 方向上的声子旋子数更多一些，这样整个的声子旋子气体就有一个不为零的总动量

对于小的速度, 动量密度为:

第一项显然为零, 所以只考虑第二项, 令 方向沿z轴，有

就是说声子旋子气体总动量密度正比于速度 ，系数就应该是正常部分的质量密度。这样就得到

剩下的质量密度就是超流部分的了。看，这个质量是这么生出来，是从声子旋子气体有整体运动时涌现出来的（Emergent）！

为什么？

前面用到这个式子。它是元激发在不同参照系中的能量的变换。我们知道，声波是在液氦流体里激发起来的，而前面说的声子旋子能谱，就是在液氦流体静止的参照系中得到的。当液氦流体超流部分通过毛细管时，毛细管相对于流体的速度为 ，在这个参照系中，声子旋子的能量会发生变化。

先来考虑经典的声波。在流体静止的参照系中，声波的波函数(密度在空间和时间上的变化)可写成 。设一匀速运动参照系, 上图中观测者o’从左边的红点运动到右边的红点，它的运动速度为

在这其间, o’点感受到的相位的变化为

那么在这个参照系中的声波的频率为

这个变换实际就是个多普勒效应。根据德布罗意关系，可以得到声子旋子的能量变换关系:

这就是说，在相对于液体以速度 运动的参照系中，测到的声子的能量为 ，它和在相对液体静止的参照系中测到的能量 的关系满足上式。

还有一个有趣的事实：由于两个参照系中测到的波长是一样的，所以在两个参照系中，声子旋子的动量是一样的！即：

这一点跟普通粒子的动量变换关系是不一样的。下面是个简单的论证。声子是氦原子的集体运动，动量应该对所有原子的动量求和。没有声子时，流体总动量 ， 是这种情况下各个原子的动量。有声子时，流体的总动量应该等于声子的动量，也就是

是有声子时各个原子的动量。

在一个速度为 的参照系中,没有声子时，流体总动量为 。有声子时系统的总动量为 ，所以声子的动量为

注意在这个参照系中，声子的动量是相对于流体中没有声子时的总动量得到的。上面的论证很容易写成量子力学的语言， 可以看作是对有声子时的激发态的期望值， 可以看作是对没有声子时的基态的期望值。

笔者教量子统计物理学这门课十几年了，每次讲朗道的各种理论，都有新体会。笔者对朗道的感觉就像颜回对孔子的感觉，仰之弥高，钻之弥坚。

封面说明：爬行膜。氦II液面以上的器壁表面（温度低于2.17K）都有一层液氦膜，厚约30nm或100层原子，它以一定的速度（例如20cm/s）沿固体表面爬行，通常称为爬行膜。

参考文献：

[1] E M Lifshitz. L P Pitaevskii, 《Statistical Physics》, Part 2,; 3rd Edition, Butterworth Heinimann，1980.

[2] 阎守胜，陆果，《低温物理实验的原理和方法》，科学出版社，1985.

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