大家好！本文和大家分享一道2003年高考数学理科全国卷真题。这道题是当年高考的第5题，考查的是圆的弦长问题，总体来说难度不算大，但是题目依然经典，作为高中生来说也是必须掌握的知识。本文和大家分享本题的三种解法，特别是第三种也是求解圆的弦长问题最常用、计算最简单的解法。
解法一：两点间距离公式
弦长实际上也就是线段的长度，所以只要求出了线段两端点的坐标，那么就可以用两点间的距离公式求出弦长。那么怎么求两端点的坐标呢？
联立圆与直线的方程，消去x或者y，然后得到一个关于y或者x的一元二次方程，解出得到的这个一元二次方程，就得到了两端点的纵坐标或者横坐标。然后，代入直线方程，就可以求出两端点的横坐标或者纵坐标，从而求出两端点的坐标。接下来再用两点间距离公式就可以求出弦长，这样就得到了一个关于a的方程，解出即可得到a的值。
解法二：弦长公式
两点间距离公式是高中阶段求线段长度的重要方法，不过用两点间距离公式求弦长虽然方法没问题，但计算量太大，容易出现计算错误。比如解法一中需要先求出一元二次方程的根，再求弦长，而在求根过程中很多同学会出错，所以将两点间距离公式改善后就得到了圆锥曲线的弦长公式。
利用弦长公式求解弦长问题时，首先也需要将圆锥曲线方程与直线方程联立，并消去y或者x，得到一个关于x或者y的一元二次方程。但是与利用两点间距离公式直接求解不同的是，用弦长公式求解不需要解出这个一元二次方程的两个根，而是利用韦达定理求出两根之和与两根之积，然后代入公式即可得到关于a的方程，解出a即可。
解法三：几何法
弦长公式是在两点间距离公式的基础上改善得到的，其优点是对两端点坐标设而不求，从而减小了计算量。不过，圆的弦长问题最简单、计算量最小的求解方法还是几何法。那么几何法怎么求解呢？
如上图，设弦长为L，圆心到弦的距离为d，圆的半径为r。过圆心作弦的垂线，那么垂线段的长度就为d，而d可以用点到直线的距离计算得到。接下来，连接圆心与弦的一个端点，这样就构成了一个直角三角形，直角三角形的直角边的长度分别为d、L/2，斜边为r，从而根据勾股定理就可以求出弦长L。
本题中，从圆的方程可以知道，圆心坐标为(a,2)，半径为2，然后根据几何法就可以快速求出弦长，从而得到a的值。
弦长公式是解决圆锥曲线弦长的万能方法，但是求圆的弦长问题最简单的方法是几何法，高中学生应该掌握。本题的难度也不大，如果这题不会，考上本科就难了。你觉得呢？
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