《湿婆：世界时代》：对伯恩赛德定理的两种观点

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

本文记录了艺术家 James Mai的作品《湿婆：世界时代》的创作思想，并讨论了伯恩赛德定理在这幅作品中发挥作用的两种方式，包括哪种方式更合适。最后，作者检查了调查对艺术家先前关于弧形作为一个集合的假设的影响，以及对它们之间关系的新认识如何有助于构图组织和绘画标题所指的隐喻参考。

1 《湿婆：世界时代》的创作理念

这幅画《湿婆：世界时代》的形式元素和组织形式源于对4个四分之三圆弧排列在一个正方形上的调查。在最初的调查中，每个四分之一圆弧能够经历两次不同的旋转和两次不同的反射，在正方形的四个象限中每一个都产生了四个可能的圆弧供选择。这位艺术家的目标是生成一套完整的不同的弧形，直到对称，由每个象限中选择的一个弧形组成，并将这套完整的弧形包含在一幅画中。这不仅包括发现16个弧线中4个弧线的所有排列，还包括消除任何通过反射或旋转而重复另一个弧线的排列。图1a中示出了所有16个这样的弧线，图1b中示出了两种可能的弧形。通过图表和反复试验的过程，Mai清楚地意识到，这组截然不同的弧形太大，不能包含在一幅画中。由于在每个象限中有4个弧线可供选择，因此总共有256个弧形必须从这些弧形中剔除视觉上不同的弧形。

图1a：16段弧母型

图1b：从母对象创建的两个弧形，每个象限有一个弧形

事实上，如果这项艺术调查是在艺术家熟悉伯恩赛德定理之后进行的，因为伯恩赛德定理被用来分析Mai的绘画《排列：星体》和《排列：人间》中的形式，那么结果也可能在这里使用[1]。我们将提供一个概述，而不是再次全面开发这项技术。无论何时我们面临这样的任务，即在某一父形式(如图1a)的一组特定类型的子形式的所有变体中寻找视觉上不同的、直到对称的子形式的数目时，我们可以应用为这种特定类型的艺术调查量身定做的伯恩赛德定理的一个版本。为了把这句话说清楚，我们需要一些初步的定义。

每一个有限几何形式都有一组对称；这个群可以只包含同一性，也可以不做对称。这些对称是固定图形的反射和旋转。换句话说，如果原始图形被它的某个对称性反射或旋转，我们就看不到差异。例如，图1a中Mai的形式的对称群相对简单;它由正方形的八个对称组成，即四个反射和四个旋转。四条反射线，一条垂直，一条水平，两条对角线，叠加在图2中16弧的父形式上。四个旋转分别为0º，90º，180º，270º。由于技术上的原因，我们认为单位对称是0º旋转。这个群在群论中称为D4。

图2：带有反射轴线的母体

每个对称保持单个子形式的数量不变，有时为零，就像它保持父窗体不变一样。例如，垂直反射不仅使图1a中的父代保持不变，而且还使图1b中最右侧的弧形保持不变。请注意，父对象的任何对称都不会使图1b中的左侧弧形保持不变。每个对称保持不变的各个子形状的集合称为该对称的固定。我们用小写的希腊字母来命名对称。我们还将使用以下表示法；特定对称φ的FIX是FIX(φ)，|FIX(φ)|表示该对称固定的子形状的数量。我们称父形式G的所有对称为群，并设|G|表示G中的对称个数，包括单位对称。有了这一点，我们现在可以陈述我们量身定做的伯恩赛德定理的版本。

如果G是母形S的对称的有限群，那么S的子形族中视觉上不同的图形的数目由下式给出

其中，这个总和是由G组中的每个对称决定的。

换句话说，我们所需要做的就是找出我们家族中有多少弧形是由母体形式的八种对称中的每一种固定的，将这些相加，然后除以总数除以八。通过从Mai的16弧母型的每个象限中选择一个弧，可以相当直接地确认有43个视觉上不同的弧形式。该信息允许艺术家知道视觉上不同的弧形的搜索何时完成，但是没有产生关于如何在256个可能的弧形的较大集合中找到43个形式的较小集合的信息。因此，艺术家的直觉是正确的；这套装置相当笨重。在研究的这个关键时刻，Mai决定改进他对弧形的定义，以得到一个更小的、可用的集合；然而，关于这个更大集合的工作仍在继续。

2.重新规划调查

Mai改进了生成弧形的参数，目的是减少子形式的数量。为此，他限制了任何给定形式的可用弧，只允许在弧的四个方向上使用一次；参见图3。四个方向中的一个在一个象限中使用后，它不能在任何其他象限中重复。符合这一新限制的弧形式的一个简单例子是圆，它的四个组成弧是四个可能的方向。请注意，在这种新的限制下，图1b中的两种弧形都不允许出现在Mai的表格集中。事实上，现在正在研究的有限的一组圆弧就是圆的四个四分之一圆弧的对称排列。因此，Mai继续寻找这些不同的形式，从一个四分圆开始，在四个象限内排列它的四个弧，最初是单对交换，然后是成对交换，最后是包括三个弧的循环排列。在通过旋转、反射或这些方式的组合来消除重复的形式之后，最终的集合由八个不同的弧形组成，这是一个比第一个过程产生的集合小得多且更易于管理的集合。当然，这个场景足够小，艺术家可以在试错的基础上进行处理。八种形态和《湿婆：世界时代》，如图4所示。

图3：4种可能的弧线方向

图4：8个弧形和《湿婆：世界时代》

事实上，即使在受限调查的情况下，我们仍然可以使用第一节所述的我们量身定做的伯恩赛德版本。各个对称以及对称群保持不变，但可能的子形式的总数大大减少到一组24个弧形，从这些弧形中剔除那些由每个对称固定的弧形。例如，图1b中最右边的弧形将计入无限调查中垂直反射的固定，但不会计入受限调查中，因为该弧形重复相同方向的弧线。该弧形仍然被垂直反射所固定，但在受限调查中不是有效的弧形。同样，通过伯恩赛德定理的这个修改版本，可以相对直接地得出结论，即肯定有八个视觉上唯一的弧形，它们是通过从每个象限中选择一个圆弧来构建的，但限制是四个可能的方向中的每一个都只能使用一次。如果读者对使用伯恩赛德计算更复杂父窗体中给定类型的子形式数量的详细分析感兴趣，应该参考[1]。

以这种方式使用伯恩赛德的问题是，在这种情况下，它不是对Mai过程的诚实的数学分析。当创造《湿婆：世界时代》时，Mai不再考虑图1a的原始16段弧母体内的子形态。他是从物理上置换四个象限内的四个四分之一圆弧的角度来思考的。因此，让我们量身定做的伯恩赛德作品来解决为什么有八种弧形这一数学问题，是在这幅画上添加了一种被艺术家视为不相关的数学结构，或者更糟的是，引入了一种超出艺术家创作目的的数学结构。可以肯定的是，有时需要额外的数学结构来解释艺术的几何人工制品，但这种技术应该尽可能避免。在这种情况下，这一点尤其重要，因为我们可以用数学方法解释为什么不使用伯恩赛德的这个特殊版本就有8种弧形。

还有更多的艺术证据表明，将同样类型的数学分析应用于《湿婆：世界时代》，就像在Mai的两幅排列画上使用的一样，是不真诚的。这三幅作品的一个共同特点是，所有三幅画列举的成套形式都是围绕每幅画布的中心呈放射状或层状排列的。在每一幅排列的画作中，中心都展示了它的父形态，这是解锁作品内容的关键。《湿婆：世界时代》的中心部分明显是空白的；这种母形的缺失表明了这组弧形的背景与每幅排列绘画中的这组形式有明显的不同。在排列中的繁殖中，母形态最为明显：如图5所示。Mai的构图选择离开湿婆的中心：虚空的世界时代，这证实了他的意图是专注于4个四分之一圆弧的物理排列，而不是作为某个父形态的子形态的个体形态。有趣的是，我们决定将数学分析与艺术家的构图选择联系起来，这将把我们带回伯恩赛德定理，这一次是以传统的代数形式。

图5：《排列：人间》，42 x 42英寸(正方形)，丙烯帆布画

3.排列、群操作和轨道

在艺术家的带领下，我们将在数学上将每个弧形与四个符号的排列联系起来。数学家将所有这类排列的群称为S4，因此，2x2网格内圆的四个四分之一弧的每个可能的排列都可以用一个循环来命名。例如，圆圈(234)表示保持第一个圆弧不变，将第二个圆弧放置在第三个圆弧占据的象限，将第三个圆弧移动到第四个圆弧的象限，最后将第四个圆弧放置在第二个圆弧缺失的空白位置。排列(1 3)(2 4)表示交换第一和第三弧以及第二和第四弧的位置。我们用(1)表示不移动任何东西的排列。请注意，这些都是刚性运动；没有弧线的反射或旋转。因此，仅当我们为每个圆弧选择初始位置并对其进行排序时，此符号才有意义。同样，在Mai的原始概念化之后，我们将使用圆作为原始配置，并对弧进行编号，如图6a所示。因此，排列(234)和(1 3)(2 4)将产生如图6b所示的弧形。我们将在圆弧之间留出一个微小的间隙，以便每个圆弧都不同于其他圆弧。

图6a：初始弧形配置

图6b：(2 3 4)和(1 3)(2 4)的弧形

现在我们必须把注意力转向数学上描述艺术家消除多余的弧形，它们仅仅是另一种形式的对称形式。我们需要考虑的对称性就是我们之前讨论过的，底层2 x 2网格的对称性。我们要做的是将由四分之一圆的所有可能排列产生的24种可能的弧形分布成子集，使得两种形式在同一子集内，当且仅当它们是彼此的对称副本。例如，排列(1 3 2)创建了由(2 3 4)创建的弧形的对称副本，它们仅仅是彼此的水平反射。图7展示了这一点。

图7 :(234)和(1 3 2)的弧形

如果我们把我们的任何一个对称性应用到所有24个弧形上，我们就说对称性作用在这组弧形上。因为我们感兴趣的是所有八种对称的影响，所以我们感兴趣的是对称群对弧形集合的作用，因此我们称之为群作用。我们可以通过应用八种对称中的每一种，一次一种，并观察其他23种弧形中的哪一种出现，来找到任何特定弧形的所有对称副本。由这个过程产生的一组弧形的代数语言是在对称群作用下的初始形式的轨道。这个过程不仅仅依赖于视觉实验，因为我们的对称群D4实际上可以解释为S4中的一个子群，所以每个对称都可以表示为排列。例如，90°旋转可以用置换(1234)来表示，因为它通过将每个顶点发送到相邻顶点来作用于正方形。为了区分表示弧形的排列和表示对称的排列，我们将对对称使用粗体字。

表1显示了由排列(2 3 4)命名的弧形式的轨道中的每个图形，轨道中每个形式的排列名称，从(2 3 4)创建每个形式的对称性，以及对称性的排列名称。请注意，排列(1 3)(2 4)的弧形式的轨道仅由该形式本身组成。这是因为无论我们应用八个对称中的哪一个，我们都会得到相同的形式。有趣的是，当两者都表示为排列时，对称在弧形上的作用不是排列的正常乘法，而是共轭作用。因此，对称(1 2 3 4)对弧形(2 3 4)的作用按以下方式计算。

表1：弧形(2 3 4)的轨道

轨道有几个有趣的性质，我们将在这里的弧形研究中加以说明。每种形式都有自己的轨道，因为每种形式都是自身的对称副本。这意味着每种形式至少在一个轨道上。如果一种特殊的形式在另一种形式的轨道上，那么这两种形式都会产生相同的轨道，因为每一种形式都是另一种形式的对称副本，所以任何形式如果是第一种形式的对称副本，也是第二种形式的对称副本，反之亦然。这意味着特定轨道中的任何弧形都可以用来生成该轨道。因此，不仅每个弧形在至少一个轨道上，而且每个形状正好在一个轨道上，因为如果一个形状在两个轨道上，它可以用来产生这两个轨道；所以轨道是相同的，相同的轨道。因此，Mai的探索是在我们的对称群的作用下，将四分之一圆的所有24种可能的排列划分到它们的轨道中，并从每个轨道中选择一个弧形，以创建他的视觉独特形式的完整集合。

因此，用数学翻译Mai的研究就是，《湿婆：世界时代》中的弧形可以被认为是S4中在D4元素共轭作用下的轨道集合。现在，我们的数学研究又回到了原点，因为伯恩赛德定理纯粹的代数目的，就是精确地计算一组轨道的数量，这些轨道是由一组的行为划分的。现在我们以有限情况下的群论形式重申这个结果。

给定一个作用在有限集S上的有限群G，G将S划分成的轨道数由下式给出：

因此，从数学上来说，我们又回到了起点，但这一次我们是通过忠实于艺术家的意图而到达的。对于伯恩赛德定理的证明，见约瑟夫·加里安的《当代抽象代数》,第三版之后的任何版本。

4.重新设想圆圈和最终构图

在最后的构图阶段，Mai通过使用颜色、比例和分布来编码弧形的结构特征。为了强调这一事实，即每一个形式是一个相同的弧形组成部分的重新安排，Mai画的所有形式都是同样的尺寸。因为有八种形式，而Mai喜欢尽可能在正方形中绘制，最终的作品被组织成一个3×3的正方形网格，八种形式占据了网格的八个外围单元。在这种紧密接近和同等规模的布置中，当呈现相同的颜色时，八种形式在视觉上难以彼此区分；因此，每个弧形都被涂上不同的颜色，以帮助在艺术家的构图要求内进行快速的视觉识别。

图8：《湿婆：世界时代》，丙烯帆布画，32 x 32

对于Mai来说，这幅画最重要的成果之一是重新塑造了他对弧形本身的假设和期望。当Mai开始调查时，他假设这个圆是基本的生成形式，所有其他的弧形都是从它的四个圆弧的重新排列中衍生出来的。当然，这种等级关系并不客观地存在于弧形之间的关系中，而仅仅存在于艺术家以圆圈为出发点的主观选择中。事实上，任何弧形都可以被认为是基形，集合中的所有其他形都可以从该基形生成。因此，所有的形式都可以从任何一种形式派生出来；它们是没有层次的变体。可以肯定的是，有一些感知特征，比如最大的对称性、形状的封闭性、作为几何对象的熟悉性等等，可能会让大多数观众认为圆圈是生成的形状；然而，系统结构中的任何东西都不会将一种形式提升到其他形式之上。这就改变了人们对圆的理解，从孤立的物体变成了转化过程中的舞台，从而使观者对画的审美理解从静态转向动态，从视觉上的“名词”转向视觉上的“动词”，从而使观赏者对画的审美理解从静态转向动态，从视觉上的“名词”转向视觉上的“动词”。

无论是原始调查还是限制性调查，对完整的弧形都没有客观的层次性。然而，应该指出的是，最初的调查不会导致同样类型的艺术重新情境化的圈子。在第一个设置中，圆只是图1a中父表单的一个子表单。通过从每个象限中选择四条弧中的一条而构建的任何形状都不能被视为生成所有其他弧；它们都是同一父形状的静态切片。就像在这两幅排列的绘画中一样，只有母形式才能解锁作品的真实内容。因此，《湿婆：世界时代》有很大的不同，因为每个单独的弧形本身携带着理解完整的一套形式及其相互关系所需的所有信息。

这种意识的转变也反映在标题《湿婆：世界时代》中。对艺术家来说，将四个组成部分的弧线拆开再重新组合的过程就像是一系列的破坏和创造。Mai想起了印度教的湿婆纳塔拉贾雕塑，描绘了神舞蹈着世界的存在和消失，他的身体被一圈火包围着，代表着世界毁灭和创造的无限循环。考虑到这一点，Mai在正方形画布的四周组织了八个弧形，中间是一片空白。这个抽象的暗示是湿婆纳塔茹阿佳的组成和象征元素，有助于加强对圆圈或任何其他形式的考虑，作为“许多中的一个”和一个无止境的动态循环的一部分。湿婆让人类认识到，这个看似巨大和终极的宇宙，只是过去和将来的许多宇宙中的一个。通过以这种方式重新审视我们的世界，假设被重铸，意识被改变。

与湿婆的这种联系对艺术家来说不是偶然的。Mai使用系统的和数学的程序来达到类似的目的：质疑假设和发现新的观点。通过客观调查寻求新的主观见解。这位艺术家本可以很容易地创作出一套开放式的任意形式的弧形用于绘画，但正是这个置换过程的详尽、完整的本质促使他重新考虑圆圈和其他形式之间的关系。对于一个试图通过艺术重塑自己视角的艺术家来说，从等级性到等价性，从形式之间的间断到连续性的微小转变并不是一件微不足道的事情。Mai对数学与艺术的相关性的承诺植根于它的潜力，它开启了其他过程可能没有的新的创造性考虑。

参考文献

1. J. Mai and D. Zielinski. Permuting Heaven and Earth: Painted Expressions of Burnside’s Theorem. In Conference Proceedings of Bridges: Mathematical Connections in Art, Music and Science, 2004. Eds. Sarhangi, Reza and Sequin, Carlo.
2. James Mai, Daylene Zielinski, Shiva: Two Views of Burnside’s Lemma at Work

青山不改，绿水长流，在下告退。

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