简图洁语察素养——2021年秋伍家岗区九年级数学第23题阅卷报告

简图洁语察素养

2021年秋伍家岗区九年级数学第23题阅卷报告

本次九年级数学学业水平监测作业第23题，阅卷样本（个人）302份，得分明细统计图如下：

很醒目的两大块分别是0分（黄色）和满分（蓝色），中间得分很少，呈现明显的两极分化，作为一道压轴几何题，区分结果验证了考研导师张雪峰的一句名言：数学，牛逼那是真牛逼，不行那是真不行！

题目

矩形ABCD中，BC>AB，△ABC绕点C顺时针旋转α(0<α<180°)，得到△EFC(其中A的对应点为E，B的对应点为F).

(1)当A，F，C三点在同一直线上时，如图1，EF交AD于点M，EC交AD于点N，试判断△EMN的形状，并说明理由；

(2)过F作FG∥EC交BD于点G.

①如图2，求证：CG平分∠BCF；

②当B，D，E三点在同一条直线上时，如图3，求证：S△BGC=S△EDC.

试题分析

第23题采用了教材常见基本图形，以矩形为基础，对角线分割出直角三角形，以某个顶点为中心进行旋转变换，变换过程中产生特殊位置关系（对称、共线、平行），从而引发一系列几何数量关系和位置关系的探究。

本题设置了两个层级难度，第1小题考察几何直观，在对题干条件进行初步分析之后，进行简单的推理，验证直觉发现，所需用到的知识为直角三角形内锐角的关系、平行线间各角的关系、三角形内角和等，上手容易；

第2小题在原条件基础上，增加了FG∥EC，并在这个新增条件下分设两个子问题，探究角平分线和面积。其中角平分线的证明方法多样，从阅卷结果中看，有证明三角形全等、利用等腰三角形性质、线段垂直平分线的判定等；

而面积探究中，仍然从基本方法入手，从阅卷结果中看，有面积公式法，等积转换法和割补法等。

解法分析

思维导图如下：

判断结果：△EMN是等腰三角形，理由略；

(2)

当题目条件中出现了平行线之后，原有的矩形加旋转立刻精彩了不少，我们知道平行线可以“造就”出相等的角例如内错角和同位角，还有互补的同旁内角等，在这些条件的加持下，我们进一步研究。

①通常情况下证明角平分即证明两个角相等，而证明两个角相等，思路有如下两类：第一是证明它们所在的三角形全等，第二是利用等腰三角形三线合一；

0 1

方法一：利用全等三角形(SSS)

很显然图中△BCG和△FCG符合要求，我们来找全等的三个条件。第一个条件是公共边CG=CG，一眼可得，第二个条件是BC=FC，由旋转可知，第三个条件如何寻求？

如果第三个条件是角相等，那只剩下证明∠BCG=∠FCG，这不正好就是题目要求我们证明的吗？此路不通！

于是第三个条件应该是边相等，我们将眼光放在BG和FG上。在旋转过程中，图1中的△ABC，与图2中的△BCD，其实是全等三角形，于是图1中的∠ACB和图2中的∠DBC是相等的，这个跨图的等量关系，如果能迅速发现，对后续推导好处非常大，我们知道图1中的∠ACB，旋转后的对应角就是图2、图3中的∠ECF，现在回到图2中，由旋转可得∠CBD=∠ECF，利用FG∥EC，将其中的∠ECF换成它的内错角∠CFG，于是得到∠CBD=∠CFG，此时连接BF后，再观察△BCF，这是个等腰三角形，因此∠CBF=∠CFB，分别减掉∠CBD和∠CFG，就得到∠GBF=∠GFB，等角对等边，得到BG=FG，从而利用SSS来判断△BCG≌△FCG，最后得到∠BCG=∠FCG，即CG平分∠BCF；

思维导图如下：

0 2

方法二：利用全等三角形(SAS)

受方法一的启发，既然能够证明△BCG和△FCG三边相等，那么取其中两边BG=FG，CB=CF，再加上方法一所证明的∠CBG=∠CFG，同样可得△BCG≌△FCG，因此本质上属于一类；

0 3

方法三：利用三线合一

仍然受方法一的启发，当证明了BC=FC和BG=FG之后，换个角度来解读这两个条件，即点C到线段BF两端距离相等，点G到线段BF两端距离相等，于是可得CG是线段BF的垂直平分线，而△BCF是等腰三角形，根据三线合一，CG为其顶角∠BCF的角平分线；

②关于两个三角形的面积相等的证明，先观察这两个三角形所处位置，B，D，F三点共线意味着它们的底在一条直线上，同时也有公共顶点C，因此最容易想到的是它们的高相等，即只需要证明底边BG=ED即可，这就产生了第一种思路：

01

方法一：利用面积公式(全等三角形)

证明之前先罗列一下目前可用的条件和结论，毕竟前一个子问题中，已经推导出了不少结论，有些是可以直接在这个子问题中使用的，例如△BCG≌△FCG；

利用BG=FG转换之后，我们的目标是证明FG=DE，这两条边恰好处于一对三角形中，分别是△EFG和△CED，如下图：

现在已经具备了两个条件，由平行线可得∠FGE=∠DEC，由旋转可得EF=CD，我们把目光放在它们的一对钝角上，即∠EFG和∠CDE；

∠EFG=90°+∠CFG，其中∠CFG可利用前面的全等三角形转换成∠CBG，于是∠EFG=90°+∠CBG，再看另一个∠CDE，它是△BCD的外角，所以∠CDE=90°+∠CBG，得到∠EFG=∠CDE，可证明△EFG≌△CED，于是FG=DE，最后根据同底等高判断△BGC和△EDC面积相等；

思维导图如下：

02

方法二：利用面积公式(等腰三角形)

承接方法一的思路，只是证明BG=ED的思路略有调整。观察△ECG，其中∠EGC是△CBG的外角，∠EGC=∠CBG+∠BCG，另一个∠ECG由两部分组成，∠ECG=∠FCG+∠ECF，前面已经证明过△BCG≌△FCG，可直接利用它的结论，∠BCG=∠FCG，由旋转可得∠CBG=∠ECF，于是∠EGC=∠GCE，即GE=CE；

题目条件中可得CE=BD，即BD=GE，减掉中间的公共部分得到BG=ED，依然可判断△BGC和△EDC面积相等；

03

方法三：割补法(等面积法)

既然存在平行线，则可利用平行线间的距离作高，得到一系列等积三角形，标记BE与CE的交点为M，如下图：

S△FGC=S△FGE，减掉公共部分后得到S△GCM=S△EFM，对于△BCD和△EFC，它们是两个全等三角形，分别减掉上述两个三角形之后，恰好得到S△BGC=S△EDC；

这种方法可谓非常简洁，思路也很清晰，个人认为是本题最优解。

阅卷思考

从批阅的答题结果来看，两极分化的首要原因，是部分九年级学生已经放弃了本题作答，零分答案中有相当部分是空白，即一字未写，而本题满分作答数量也不算少，说明只要吃透了教材内容，考察的数学思维并不复杂，因此从这个意义上来讲，本题难度适中。

在批阅第2小题的第1个子问题时，不少学生证明全等时，没有经过认真思考，利用边边角来证明全等的大有人在，甚至还有个别学生堂而皇之地写上SSA，根据本题条件设置，如若通过全等来完成这一小题的证明，最优解是边边边(SSS)，然而实际上若是将证明全等的条件找齐了，压根也就不需要全等了，垂直平分线的判定加三线合一，在书写上更为简洁。

究其原因，在平时的教学过程中，教师批改作业时，稍一马虎，便容易被学生蒙混过关，只要全等时写了三个条件，不细看很可能看错，在学生心目中，只要写了三个条件，管它是不是按定理来的，都得到结论全等，或者说这种毛病到最后，没证明三个条件，自己生硬凑上一个不知哪来的条件，阅卷过程中也有发现，这种数学证明上的“形式主义”可谓危害深重，不妨反思，来源究竟在何处？

第2个子问题，面积相等的最优解，实际建立在前面方法的思考基础上，前面所证明结论中，有哪些可用，需要先储存在大脑中，做完一个小题便忘掉其结论，不是解综合题的好习惯。换句话讲，几何综合题，考验的正是学生构建本题知识网络的能力，由已知条件出发，结合自己所学，推导出若干结论，网络便算组成，任何一个节点，都具备相应的扩展，解题思路，正是沿这些节点成型。

我们平时的课堂上，是否注重帮助学生构建知识体系，借助这道题完全可以得出一个结论。课堂小结，不应该是简单的提问“你学到了什么？”、“你有哪些收获？”，更应该让学生用思维导图去画一画，眼见为实，耳听为虚。