这是湖南株州2021年中考数学的选择压轴题,是一道与锐角三角函数,以及二次根式估值有关的题目,还是一个与实际生活息息相关的问题,挺有意义的一道题。题目是这样的:
某限高曲臂道路闸口如图所示,AB垂直地面l1于点A,BE与水平线l2的夹角为α(0度≤α≤90度),EF//l1//l2, 若AB=1.4米,BE=2米,车辆的高度为h(单位:米),不考虑闸口与车辆的宽度,下列说法正确的个数为( )
①当α=90度时,h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口;
②当α=45度时,h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口;
③当α=60度时,h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
分析:首先,当α=90⁰时,A,B,E三点在同一直线上,只要h
而当0度<α<90度时,我们可以过E点作l2的垂线段EG,G是垂足,如图:
(也可以延长FE和AB,使它们的延长线相交于G点,BG就相当于图中的EG)
在直角三角形BEG中,角α的对边EG等于斜边BE与sinα的积,这是正弦函数定义公式的变形。这些公式一定要记牢了,不要记错,如果不熟练,就先写出正弦函数的定义公式,sinα=EG/BE,再转化成EG=BE·sinα. 虽然这样也可以,但用的时间就会相对多一点。
当α=45度时,三角形BEG是等腰直角三角形,直角边EG是斜边BE的1/根号2倍,或根据sin45度=根号2 /2,代入上面求EG的式子,就可以求得EG的长是根号2,约等于1.4,或1.41,不需要取三位小数。
只有h
当α=60度时,三角形BEG是含30度角的直角三角形,60度所对的直角边EG,是较长的直角边,它是斜边斜边BE的根号3 /2 倍,或根据sin60度=根号3 /2,代入上面求EG的式子,就可以求得EG的长是根号3,约等于1.73,同样不需要取三位小数,但这里也不能只取一位小数,否则后面就无法比较。这是估值时取到什么精确度的技巧,需要自己在解题过程中慢慢摸索。
只要h
综上,正确的说法有两个①和②.
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