百年一遇的洪水，为何年年遇？

2020年7月，全国很多地区都遭遇了百年一遇的洪涝灾害，鄱阳湖的水位甚至超过了1998年。洪水给许多地区的居民带来了严重的安全威胁和财产损失。有人又说：“最近十年，百年一遇的洪水我已经遇到三次了。”明明是一百年才会发生一次的事，为什么十年之内就遇到了三次呢？百年一遇这个词到底是什么意思呢？

之前我们讨论过墨菲定律，讲过小概率事件为何也会变成必然事件。今天我们从洪水的角度再来具体聊聊这个话题。

洪水的重现期

所谓“百年一遇”，在水文学领域有一个更专业的名字——重现期。它的意思是某个强度的降水或洪峰重复出现一次的平均时间间隔，是根据大量的实测资料通过计算得到的。

举个简单的例子：中国很多地区历史悠久，会保留很长时间的水文资料。假设有一个地区，保存了一条河一千年的水文数据。平时这条河的流量都在50立方米/秒上下，偶尔降水变多，这条河发生洪水，最大流量会达到100立方米/秒。通过统计我们发现：这样的事件在1000年的历史中一共发生了100次，平均10年出现一次，我们就叫它“十年一遇”。反过来说，每一年遇到这种流量的洪水概率就是1/10。

同样的，如果我们经过研究发现：这条河流量达到200立方米/秒的严重洪水，在1000年的历史上一共发生了10次，平均100年发生一次，我们就叫它百年一遇，每一年遇到这种洪水的概率就是1/100；如果这条河流量达到了300立方米/秒的超级洪水，在1000年的历史上只发生过1次，那么我们就叫它千年一遇，每年出现这样洪水的概率就是1/1000。

从这个简单的例子我们可以了解洪水重现期的含义：假设在N年的历史记载中，某个量级的洪水出现了k次，重现期T的计算公式为：

反之，每一年出现这种量级洪水的概率就是

洪水重现期和每年出现的概率是互为倒数的，更准确的统计模型比这个例子复杂的多，但是基本原理是一样的。

但是，我们一定要知道: 百年一遇的洪水——平均100年出现一次，这只是一个统计学结论，实际上100年中百年一遇的洪水也可能完全不出现，或者出现2次、3次、4次等等，洪水的重现期并不像哈雷彗星的周期那样严格。

防洪设施的标准

在修建防洪设施时，需要参照相应的国家标准，对重要区域、大城市，需要能够抵御更高级别的洪水。那么，如果按照百年一遇的标准修建防洪设施，是否就一定能保百年平安呢？

我们来做一个算术题：百年一遇的洪水每年发生的概率为1%，那么在N年中至少发生一次的概率有多大？

我们看：在任意一年，遇到百年一遇的洪水概率是1%,不遇到的概率就是99%。如果连续N年都不发生这种级别的洪水，利用乘法原理得出概率是0.99^N；相应的，N年中至少发生一次百年一遇洪水的概率就是

我们把这个概率图像画出来如下

图像横坐标N代表年数，纵坐标P表示至少发生一次百年一遇洪水的概率。我们会发现：十年内发生百年一遇洪水的概率约9.6%，三十年内发生百年一遇洪水的概率约26%，五十年内发生百年一遇洪水的概率约39%，一百年内发生百年一遇洪水的概率约63%。

100年内，也有37%的概率不会发生百年一遇洪水，同样的，10年内，也有9.6%的概率发生百年一遇洪水。如果堤坝按照百年一遇标准设计，在10年内有9.6%的可能发生危险，30年内有26%的可能发生危险，而50年内发生危险的可能就是39%。

而且，由于气候和环境变化、人类活动等原因，降雨量也会发生变化，沧海桑田，百年一遇的洪水标准也会随之变化。近年来全球气温上升、海平面升高等事件，也可能会造成以前是百年一遇的洪水，在近年来变得越来越频繁。在这个层面上，人类也需要对自己的行为有所反思。

总而言之，以百年一遇的洪水数据为标准设计的堤坝，不一定能保证一百年都是安全的。既然如此，国家的防洪设施标准是不是越高越好呢？我们提高到可以抵御千年一遇、甚至万年一遇的洪水标准，那不就高枕无忧了吗？

防洪级别越高的设施，意味着建设成本的增加，这种成本最终都会落到纳税人身上。防洪级别低，建设成本会降低，可一旦发生洪水灾害造成的损失会很大。所以在实际的应用当中，需要根据水域条件，平衡防洪设施的建设成本和洪水造成的损失，寻找最经济的方式。

二项式分布

现在，我们要回答最初那位小朋友提出的问题了：百年一遇的大洪水，在十年内出现三次的概率有多大？

投一个篮球，投中的概率是30%，不中的概率是70%，如果投篮10次，命中3次的概率是多少？买一张彩票，中奖的概率是40%，不中奖的概率是60%，买100张彩票有50张中奖的概率有多大？像这样的概率问题，我们称之为二项式分布。

做一个试验，试验成功的概率是p，试验失败的概率是1-p。若试验重复N次，其中k次成功的概率称之为二项式分布，记作f(k,N,p)。

比如洪水，百年一遇的洪水出现的概率是1%，不出现的概率是99%，10年的时间里出现3次的概率符合二项式分布，写作f(3,10,0.01)。在高中数学书里就有二项式分布的计算方法：

有趣的是：我们也可以使用杨辉三角找到组合数。杨辉三角顶端是1，第一行是1、1，第二行是1、2、1，第三行是1、3、3、1，把这些数字排列成三角，就会发现最左边和最右边这两列都是1，而中间的任意一个数字都等于它肩膀上的两个数字之和。关于杨辉三角的更多精彩内容请参阅我以前的一篇文章：梅花机的中奖概率怎么算？

神奇的是，杨辉三角跟组合数有着非常巧合的对应关系。顶端的1对应的是的计算结果C00第一行的1、1，对应的就是C10和C11的计算结果；第二行的1、2、1对应的就是C20、C21、C22的计算结果；第三行的1、3、3、1对应的是、、、的计算结果……遵循这个规律，你可以从杨辉三角的对应位置上当中找到的计算结果。当然你如果不想这么费劲，也可以直接借助互联网来搜索你要的答案。

掌握了二项式分布，我们就可以算百年一遇的洪水，10年内发生3次的概率了。

大家看，10年内遇到3次百年一遇洪水的概率大约是万分之一，几乎是不可能的。

百年一遇，为何年年遇？

那么，为什么我们经常感觉遭遇了大洪水呢？

很有可能的一个原因是：互联网拉近了人与世界的距离。全国任何一个地方发生百年一遇的洪水都被人们收纳到记忆中，所以才觉得小概率事件愈加频繁。

刚才我们计算到：对于一个特定的流域来讲，10年内发生三次百年一遇的洪水概率只有0.01%。然而，全国有许多流域系统，如果每个流域系统都是相对独立的，东边不亮西边亮，发生百年一遇洪水的概率就大得多了。

我们暂且假设每个省级行政单位只有一个流域系统（当然这个假设与实际不符，只是为了计算方便），这样全国共有34个流域。在10年的时间里，有340次发生洪水的机会，每个流域每年发生百年一遇洪水的概率依然是1%。按照二项式分布，我们就能计算出发生0次、1次、2次、3次…百年一遇洪水的概率，为：

大家看，在340次发生洪水的机会中，3次发生百年一遇洪水的概率大约22%，发生不少于3次百年一遇洪水的概率大约66%，这就是我们为什么经常看到百年一遇洪水的原因。

我们在计算过程中假设了每个省只有一个流域系统，实际上，全国的流域远远不止34个，所以十年之内，在全国范围看到3次或者更多百年一遇的洪水，概率应该比66%更大。更进一步来说，百年一遇的灾害不只有洪水，还有地震、台风、蝗灾、传染病……如果从这个角度来计算概率，你会发现基本上每一年都会有一些地方遭遇百年一遇的灾害。

除了自然灾害，还有很多百年一遇的天文事件，也经常出现在日常生活中。比如超级月亮、日全食、火星大冲、金星凌日、哈雷彗星等、太阳活动等等，一个20多岁的人可能已经遇到了无数个百年一遇的自然现象，这其实都是非常正常的。

在我之前做这个视频的时候，有人说我在洗地。在抗洪的设施上，的确曾有一些有问题的工程，但是科学是客观存在的，并不因个人喜好而不同。百年一遇就是一个水文学和概率问题，而不是阴谋论。每当灾害发生时，冲在第一线的永远是解放军战士和武警官兵，他们才是最可爱的人。