梅花机的中奖概率怎么算？

在街头，你是否见过这样的抽奖游戏：把一个小球扔到一个布满钉子的盒子里，小球经过许多次与钉子的碰撞，最后掉到某个槽里，根据小球掉的位置，会给你相应的奖品。

通过大量实验我们很容易看出：小球掉到中央附近的槽里概率大，掉到两端的槽里概率小。可是，这个概率如何计算呢？

今天我们就要研究一下这个问题。它可以用中国数学家杨辉提出的一个三角形解释，我们称之为杨辉三角。

杨辉三角

1261年，中国数学家杨辉写成了著作《详解九章算法》，在这本书中杨辉使用了一个数字三角形。不过，杨辉在著作中提到：早在200多年前，中国数学家贾宪就已经提出了这个三角形，所以我们也叫它贾宪三角。在西方，直到1665年，这个三角形才由法国数学家和物理学家帕斯卡提出，比中国晚了数百年。

杨辉三角是一个由数字构成的无限大的三角形，它的第一行只有一个数字，第二行有两个数字，第三行有三个数字…

我们可以非常轻松的写出这个三角形，这是因为：它的左右两侧的数字都是1，而中间任何一个数字都等于它肩膀上两个数字的和。如图中的2=1+1，3=1+2，6=3+3，10=4+6…。记住这个规律，我们就可以随心所欲的把这个三角形写到任意一行。

这个三角形有什么神奇之处呢？

我们首先把每一行的数字加起来，第一行的数字是1，第二行的数字和是2，第三行的数字和是4，第四行的数字和是8, 第五行的数字和是16,…

大家是否发现规律了？每一行的数字和都是2的整数次幂：第N行的数字和是2^（N-1.

还有，如果我们随便取出一列数字（这个列是指平行于边的倾斜的一组数字），你会发现它们的和等于拐角处的数字。例如图中1+1+1+1+1=5，1+2+3=6，1+4+10+20=35…

再比如 ：如我们稍微倾斜一下去看杨辉三角形的行，把倾斜的行上的数字加起来，就会得到一组数字：1、1、2、3、5、8、13、…，这恰恰就是神奇的斐波那契数列。

其实杨辉三角的神奇性质还有许多，在这里就不一一列举了。

二项式展开式

杨辉三角最大的应用在于计算二项式的展开式系数。所谓二项式展开是指两个数和的N次幂，例如

我们会发现：二项式展开后是一个关于a和b的齐次式，也就是每一项的a和b的幂次之和是相等的。而且，我们可以把a降幂排列，把b升幂排列，这样一来就会出现一组系数，我们就会发现N次展开式的系数刚好是杨辉三角形中第N+1行的数字。

通过这个规律，我们就可以方便的计算出一个二项式的展开式。例如，我们要计算(a+b)^7,首先就从杨辉三角中读出第8行的数字：1、7、21、35、35、21、7、1，再把它们填写到一个7次齐次展开式上就可以了。

后来，牛顿爵士把这个展开式中的幂指数N推广到有理数的情况，提出了牛顿二项式定理。

在开方中的应用

利用杨辉三角形，我们可以用迭代的方法进行手算开方。比如，我们来计算一个最简单的问题：求11的二次方根，就可以按照下面的办法：

首先，如果11可以写作(a+b)²的形式，我们把二项式展开，根据三角形得到：

我们在取值时让a>>b，因为b很小，所以b²就更小，在这个展开式中前两项是主要部分，最后一项是一个小量，于是我们忽略最后一项，得到

这是一个重要的近似结果，我们通过多次迭代就可以找到足够精度的平方根。

比如，我们先尝试a=3的结果，代入表达式

于是

一次迭代完成，我们得到了11的一个近似平方根——10/3。

不过，这个结果还不够准确，下一步，我们可以再取a=10/3，再次代入近似表达式

于是

于是，我们又得到了一个更加精确的平方根——199/60。

按照这样的方法多次迭代，就可以求出一个比较准确的平方根了。利用这样的方法也可以计算高次方根。

在抛硬币概率中的应用

抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是50%。但是如果我们连续抛4次，问：刚好有两次正面朝上的概率，你会计算吗？

我们不妨用A表示正面朝上，用B表示反面朝上，把抛硬币次数和所有可能的结果都列在表格中

大家有没有发现：抛硬币中正面朝上的情况数其实构成了一个杨辉三角——抛N次硬币时正面朝上的分布情况就是杨辉三角中第N+1行的数字。

我们按照这个规律，抛四次硬币时，正面朝上的情况数应该是杨辉三角第五行，1、4、6、4、1，分别代表：

一共有16种情况，其中6种情况下2次正面朝上，所以抛4次硬币两次正面朝上的概率是

是不是非常神奇？

梅花机

我们终于可以解决最开始提出的问题了：梅花机中的小球掉到各个槽中的概率如何计算？

当小球撞到某一个钉子，它会随机的向左或者向右落下。在小球个数比较少的时候，我们完全无法看出规律。

但是，如果落下的球足够多，我们就会发现球的分布形成了一种中央多，两端少的分布情况，这就代表了球落在不同槽中的概率。

这个装置最早是由19世纪的英国学者高尔顿发明的，叫做高尔顿钉板。它所形成的曲线称为正态分布曲线，德国数学家高斯曾经对正态分布的问题颇有研究。

不过，这一回我们只研究一个简单的问题：小球掉入某个槽中的概率。

我们以4行钉板为例：如果小球要掉入最左侧或者最右侧的槽中，它必须一路顺着左边或者一路顺着右边运动，因此无论小球运动到左侧或者右侧的哪一个位置，运动路径的方法数都是1。

但是，如果小球要运动到A的位置，就有两种方式了：要么从A的左上方向右到达A处，要么从A的右上方向左到达A处。所以，到达A处的可能数等于A左上和右上的可能数之和。A=1+1=2。

按照这个规律我们就能写出小球到达任意一个位置的方法数。

大家看，这不就刚好是杨辉三角么？

而且，因为撞击钉板之后，小球向左和向右运动的概率都是1/2，所以所有的路径都是等可能的。因此到达某个槽的方法数越多，就代表概率越大。

例如在4行钉板时，落入槽中的方法总数有1+4+6+4+1=16种，其中落入中央槽的方法数有6种，因此落入中央槽的概率就是6/16=37.5%，落入旁边两个槽的概率是4/16=25%，而落到最边上的两个槽的概率就是1/16=6.25%。

最后做个实验看看，分别落下1000个、2000个、3000个小球，并且统计一下落入各个槽中的概率大小。

我们会发现：随着小球数量的增加，落入各个槽中的比例会越来越接近理论概率。当小球数量足够大时，落入槽中的小球比例会越来越接近理论概率，这就是大数定理。