拉格朗日中值定理的应用，证明几个不等式，最后一个很重要

今天老黄要利用拉格朗日中值定理证明几个不等式，其中最后一个不等式还是比较重要的。是关于正弦函数的一个不等式。下面看题：

证明：(1)若函数f在[a,b]上可导，且f’(x)≥m，则f(b)≥f(a)+m(b-a)；

(2)若函数f在[a,b]上可导，且|f’(x)|≤M，则|f(b)-f(a)|≤M(b-a)；

(3)对任意实数x1,x2都有|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.

分析：(1)(2)都已知函数f在[a,b]上可导，那么f就在[a,b]上连续，且也在(a,b)上可导，这就符合拉格朗日中值定理的条件。因此在(a,b)上存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a).

(1)中因为f'(x)>=m, 所以(f(b)-f(a))/(b-a)>=m，两边同时乘以正数(b-a), 就可以得到f(a)>=f(a)+m(b-a). 从而(1)得证。

(2)中因为|f’(x)|≤M，所以|f(b)-f(a)|/(b-a)<=M，两边同时乘以正数(b-a)，就可以得到|f(b)-f(a)|≤M(b-a). 从而(2)也得证。

(3)既可以利用拉格朗日中值定理证明，也可以利用(2)的结论证明。先看怎么利用拉格朗日定理证明。

因为sinx在R上可导，因此在任意闭区间上可导。这里并没有指定x1,和x2的大小，因此这个区间既可能是[x1,x2]，也有可能是[x2,x1]。我们也可以假设成其中的一种情况。不论是哪种情况，sinx都在这个区间上符合拉格朗日中值定理。

因此在对应的开区间上存在一个点ξ，使得(sinξ)'=cosξ=(sinx1-sinx2)/(x1-x2). 而|cosξ|<=1，所以|(sinx1-sinx2)/(x1-x2)|<=1，两边同时乘以|x1-x2|，就可以得到|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.得证！

再来看利用(2)的结论证明的方法。(2)中只要函数在闭区间上可导，sinx正好符合。且函数的导函数有界。sinx的导函数是cosx也符合。这样就可以由(2)的结论，得到要证明的不等式了。下面组织解题过程：

证：∵函数f在[a,b]上可导，∴f在[a,b]上连续,

根据拉格朗日中值定理，可知 存在一点ξ∈(a,b)，

使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，

(1)∵f’(x)≥m，∴(f(b)-f(a))/(b-a)≥m，

∴f(b)≥f(a)+m(b-a).

(2)∵|f’(x)|≤M，∴|f(b)-f(a)|/(b-a)≤M，

∴|f(b)-f(a)|≤M(b-a).

(3)∵sinx在R上可导，∴sinx在[x1,x2]或[x2,x1]上可导,

又|(sinx)’|=|cosx|≤1，由(2)可知|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.

我们还可以证明|cosx1-cosx2|≤|x1-x2|. 你可以自己动手证明一下，也练一练拉格朗日中值定理的应用。