2002年江苏高考压轴题，考查二次函数最值，全班几乎无人满分

说起国内高考题难度最大的省份，江苏一定会被提起，甚至不少人称江苏高考是属于“地狱”难度。那么，本文就和大家分享一下这道2002年江苏高考的压轴题。本题主要考查二次函数的最值及充要条件等知识，难度相对于现在的压轴题来说要小很多，但是全班却几乎无人满分。

先看第一问，对任意x在R上都有f(x)≤1，代入f(x)的解析式并移项，可以得到：bx^2-ax+1≥0在R上恒成立，这样就转化成了二次函数的恒成立问题。

因为b＞0，所以二次函数bx^2-ax+1的开口向上，而函数值始终为非负数，则有函数图像最多与x轴只有一个交点，即△=a^2-4b≤0。又a＞0，所以可以解出a≤2√b。

第一问还可以用另外一个方法求解。

要使f(x)≤1在R上恒成立，那么只需要f(x)的最大值都小于等于1即可。而f(x)=ax-bx^2，是一个开口向下的二次函数函数，所以最大值在顶点处取得，即最大值为f(a/2b)=a^2/4b≤1，解出即可得到a≤2√b。

再看第二问，要证明充要条件，就要分别证明充分性和必要性。

先看必要性。|f(x)|≤1，那么必然对于任意的x在[0,1]上都有f(x)≥-1，所以f(1)≥-1，即a-b≥1，所以a≥b-1。

同样，x在[0,1]上都有|f(x)|≤1，必然有f(x)≤1。因为b＞1，所以0＜1/√b≤1，所以f(1/√b)≤1，代入即可得到a≤2√b。

在证明必要性中a≤2√b时，不少同学想不到该选哪个自变量的值。其实，这个时候可以将a=2√b代入f(x)=1的方程中，解出的x就是需要的自变量的值。

接下来证明充分性。因为a＞0，a≥b-1，所以ax-bx^2≥b(x-x^2)-x。又x在[0,1]上，所以x≥x^2，所以b(x-x^2)-x≥-x≥-1，即f(x)≥-1。

因为b＞1，a≤2√b，所以对任意x在[0,1]上都有ax-bx^2≤2√bx-bx^2≤1，即f(x)≤1。

综上，得证结论。

最后来看第三问。

因为a＞0，0＜b≤1，那么对于任意x在[0,1]上都有f(x)=ax-bx^2≥-b≥-1，即f(x)≥-1。

|f(x)|≤1，则有f(x)≤1，所以f(1)≤1，代入即可得到a≤b+1。这就求出了必要条件，接下来证明该条件的充分性。

a≤b+1，则函数f(x)=ax-bx^2的对称轴在[0,1]的右端点或右侧，所以f(x)≤f(1)=a-b≤b+1-b=1，即f(x)≤1。

综上，即可求出充要条件为a≤b+1。

这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？