微积分基础漫谈：一元函数积分的基本思想与基本结论

积分原始思想的萌芽很早，甚至早于微分思想，主要用于计算物体运动的路程、变力作功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题。现在资料据说古希腊德莫克利特、阿基米德、中国的刘徽都用积分思想计算过面积和体积，当然这些方法都建立在特殊的技巧之上，不具有一般性，也没有逻辑基础保证其是正确的。

再晚一点，开普勒的“同维无穷小方法”、卡瓦列利的“不可分量法”、费马的“分割求和方法”更是典型的积分思想。

割圆术

曲边梯形的面积

不过真正的积分发明者还是牛顿与莱布尼兹，因为他们揭示了微分与积分的内在联系——微积分基本定理，也即牛顿——莱布尼茨公式：

积分是微积分的一个核心概念。定积分严格的数学定义是黎曼用极限的方式给出的，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限，也即对于一在区间 上给定的非负函数 ， 所代表的曲线与 坐标轴所夹图形的面积为

上述符号定义：在闭区间 中取一个有限的点列

每个闭区间 构 成一个子区间， 。定义 为这些子区间长度的最大值： 。一个闭区间 进行分割后，在每一个子区间上 取出一介点（介值点） 。

黎曼定义的积分就是微分的无限积累，或者说定积分是无限个无穷小量之和。核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。

所以定积分是一种极限，这种极限不同于数列的极限也不同于函数的极限，它是和式的极限。对于体现自变过程的变量的每一个值，不仅区间的分法有无穷多种，而且对于每一个分法，介值点也有无穷多种取法，因而相应的和式一般有无穷多个值。但它仍然有着与数列极限、函数极限的本质上的相同之处，即当 极限变小时，相应的一切和式与某一定数（积分值）的距离能够变得并保持任意的小。

微积分的最初发展中，定积分即黎曼积分。在实变函数中，可以利用测度论将黎曼积分推广到更加一般的情况，如勒贝格积分。

显然，黎曼积分定义有一个自然问题就是这个黎曼和式是不是一定有极限，极限与子区间划分方法有无关系。前者就是所谓的可积问题，后者是极限收敛问题。

决定是否可积一般依赖于四个因素：函数、区间、区间的分法、介值的取法。

很容易证明，当函数在区间上可积时，不依赖于区间的分法与介值的取法，函数积分数值只与函数和区间两个因素有关。所以在可积的条件下，当求某函数在指定区间上的定积分时，往往可以取一个特殊的分法（如 等分 ），取介值为划分内的特殊点（如左或右端点、中点等）。

可以证明下述结论：

• 可积函数必有界，有界函数不一定可积，无界函数一定不可积；

• 连续函数一定可积；

• 有有限个间断点的有界函数一定可积；

• 有无限多个不连续点的单调函数一定可积 ；

• 区间上有无限个不连续点的有界函数（只要间断点的测度为0）也可积。

定积分的主要应用是求和，例如平面图形的面积，求已知截面面积的立体的体积，求旋转体的体积，求曲线的弧长，求旋转曲面的面积，求变力所作的功，计算运动物体的路程，以及物体之间的万有引力等等。

另外，定积分可以作为定义函数的一种新的工具，例如连续函数的变上限积分是函数的一个原函数。

又知道某些函数的原函数并不是初等函数。如椭圆积分就不是初等函数，这时我们就把这个积分本身，作为此函数的定义，此为出发点来研究函数。

微积分最基础的定理（微积分基本定理）是牛顿和莱布尼茨分别独自发现的：

一个可积函数在区间 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间 上的增量。也即：如果函数 在区间 上可积，并且存在原函数 ，则：

这个发现给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。

牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。从而也把定积分的计算问题转为求函数的原函数。这个公式也是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式，它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

事实上，如果在 上所求量 能够用积分 表示，则分布在区间 ， 上的量

若 ，则

此时积分和式 中的 就是函数 的原函数 的微分，即

它不仅仅是 的改变量 的近似值，而且是 的线性主部，也就是与 相差一个关于 高阶无穷小的那个精度较高的近似值。这样，如果 均分子区间上的介值点取为左端点，则定积分可以写成

也就是说，定积分就是各子区间 上原函数 的微分和的极限。

由上面的分析也可以知道，咱们在利用微元法构建定积分模型计算量 时，所取部分量 的近似值 必须是与 相差一个关于 在 的高阶无穷小量，或者 与 必须是 的等价无穷小量。也就是说， 的近似描述形式可能有很多种，但是，只有满足上面说到的条件，构建的近似被积表达式才有意义，也才能计算得到正确的定积分结果。

比如我们构建定积分模型计算如下图所示的圆锥的侧面积 。

显然，圆锥的侧面积是可以计算得，并且可以直接由侧面积计算公式，得

用微元法构建定积分模型的思路与步骤为：在 区间上任取子区间 ，其对应的侧面积微元 如果用高为 ， 处的截面圆为底面的圆柱面的表面积去近似，则

由此对应的定积分模型及结果为

我们可以验证这样近似得到的面积微元的面积 与真实的 不为等价无穷小量。

由圆台侧面积计算公式，可得

于是可得

从结果可以看到，当 时， 与 不为等价无穷小量，所以不能作为被积表达式来计算侧面积。并且从 的计算公式中可以看到， 应该取为 的线性主部，即

由此得到的侧面积为

利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支中都要用到。

下面说说不定积分。不定积分是已知导数求原函数，用公式表示是

前面已经说了，定积分是求面积（Riemann和的极限），不定积分只是求导数的逆运算，所以不定积分与定积分是完全不同的两个概念。但是，牛顿莱布尼兹公式把它们联系到了一起。

不过，函数在所讨论区间上的Riemann和的极限的存在性不取决于该函数的不定积分的存在性，函数在所讨论区间上的不定积分的存在性也不取决于该函数的Riemann和的极限的存在性。

容易证明：函数可积不一定该函数存在原函数：因为 在区间 上连续，在区间 上有界，且只有有限个第一类间断点，而在区间 上单调有界，则 都在在 上可积。我们知道，一个函数如果可导，那么它的导函数是不可能存在第一类间断点的，即一个函数如果存在第一类间断点，那么它是不会有原函数的，也即可积并不能保证有原函数。

同时，也容易证明，函数有原函数但该函数不一定可积。例如，函数

各点可导，但由于在闭区间 上有无界点 ，故在 上不可积。

所以函数可积问题，是传统微积分没能解决的一个问题（有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积，一个黎曼可积的函数列收敛到的那个函数不一定是黎曼可积的等等），直到实变函数发展起来，扩展了可积的概念，例如勒贝格积分，也扩展了基于勒贝格测度理解的连续函数的概念，这个问题才圆满解决。

积分计算有非常多的技巧，换元，变量替换，逼近，因式分解等等，一般的高等数学、数学分析教材中都提供了非常多的计算技巧例子，并且还给出了基本的积分表。

对于不定积分的计算，一般通过多做习题来加强训练。对于有些计算思路的探索与过程的验证，也可以借助数学软件，或者计算网站来完成，比如推文：

华罗庚是世界现代数学家中计算能力名列前茅的变态，他的很多发现或定理证明都是算出来的，晚年的华罗庚为保证自己思维状态，每天没事干就是算积分玩，而且是极难的积分。这个不是传说，是亲眼所见。原来的科大数学系学生（77，78，79三级），计算积分和矩阵，能力在中国所有大学中，无人能及，科大学生不能把华罗庚的线性代数的打洞公式和积分的变换技巧用得风生水起，都不算合格学生。

中国科大对基础课的重视也可以参见1959年5月26日，中国科学技术大学力学和力学工程系（1961年改名为近代力学系）系主任钱学森在人民日报撰写的《中国科学技术大学里的基础课》的文章。

未完，待续...

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