1990年高考数学真题，求三角函数最值，难度不大，但难倒不少同学

大家好！本文和大家分享一道1990年高考理工农医类数学真题。当年高考数学题共三道大题，其中第一大题为选择题，包括了15道小题；第二大题为填空题，包括了5道小题；第三大题为解答题，包括了6道小题，全卷共26道小题。

本文和大家分享的是填空题的第四小题，即全卷的第19小题。题目是：函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值。这道题考查的是三角函数的最值问题，实际上的难度并不算大，但是现在仍然有不少同学不会做。下面我们一起来看一下这道高考真题。

在高中阶段，三角函数最值问题常考的有三种形式。

第一种：y=asinx+bcosx+c型的最值。

这是最简单也是最基本的一种类型，实际上考查的是辅助角公式的应用。

什么时候想到用辅助角呢？出现了“同角异名”时就用辅助角公式，而辅助角公式可以将同一个角的不同函数转化为同一个角的同一个函数，这样就更容易计算了。

辅助角公式：asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+y)，然后通过siny=b/√(a^2+b^2)或者cosy=a/√(a^2+b^2)或者tany=b/a求出y的值。

第二种：y=a(sinx)^2+bcosx+c型的最值。

在这种类型中出现了二次，所以可以考虑进行换元。首先将不同名的两个函数变成同名函数，即(sinx)^2=1-(cosx)^2；然后令cosx=t，则-1≤t≤1，这样就变换成了一个关于t的二次函数，再求这个二次函数的最值即可。

第三种：y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx+c型的最值。

这是三种形式中最难的一种，用到的方法还是换元法。

先令sinx+cosx=t。因为t=sinx+cosx=√2sin(x+45°)，所以-√2≤t≤√2，再两边平方并化简可得：sinxcosx=(t^2-1)/2，这样转换后又变成了求关于t的二次函数的最值问题了。

再回到这道高考真题。

很明显，此题考查的就是第三种类型，所以还是采用换元法。

令sinx+cosx=t，其中-√2≤t≤√2，并且可以得到sinxcosx=(t^2-1)/2，所以原函数可以化为：y=(t+1)^1/2-1。

显然，当t=√2时，y取得最大值，且最大值为(√2+1)^2-1=1/2+√2。

通过这道高考真题，我们复习了高中比较常见的三种类型三角函数的最值问题。从讲解过程可以看出，这道题的难度并不大，不过考查的知识点还是不少，包括同角三角函数的平方关系、辅助角公式、换元法、二次函数最值等。这三种类型你都掌握了吗？