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世界上最短的数学论文系列——尼文关于π无理性的证明,极为巧妙

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无理数很有趣,小数点后的数字永不循环地延续下去,但整个数字总是小于一个固定值,这就有点难搞了?没有错,我所说的就是π。在这里,我们将讨论一个半页纸的证明,证明这个数字π的无理性。


  • 伊万-尼文(Ivan Niven)

人类文明知道π以及它与圆的周长和面积的关系已经有几千年了,可以追溯到古代巴比伦人,当时最后的猛犸象已经灭绝了。然而,尽管π的估值从3到3.12再到3.14等等,但π的无理性本质直到1760年才被瑞士学者约翰·海因里希·兰伯特发现并证明,后来又被其他著名数学家如埃尔米特、卡特莱特、布尔巴基和拉茨科维奇证明。

这些证明中,伊万·尼文的证明用简单易懂的数学工具及矛盾方法,将其压缩在半页纸里。让我们来看看。

首先假设π是一个有理数,可以表示为π=a/b,其中a&b是整数,b≠0。让我们考虑一个函数:


我们可以改变n,从1到任意数n的数,来创建一个多项式F(x):


现在,回到f(x),很明显,当n!与f(x)相乘时,分母是1,因此对于任何x,f(x)值都是一个整数。所以:

现在,如果你考虑右手边,(a -bx)^n中x的最小幂是0,即a^n,当它与x^n相乘时,结果中x的最小幂是n,最大是n+n=2n。

如果对f(x)进行微分,当x=0或(a-bx)=0=>x=a/b=π(如前所述)时,结果总是0,因为分子中的所有项都有x。现在,让我们对{F'(x)sin x - F(x)cos x}对x进行微分:


经过一点点简化,我们得到了一个结果:

我们知道,积分是微分的逆运算,反之亦然。因此,如果我们对f(x)sin x进行积分,也就是对{F'(x)sin x - F(x)cos x}进行微分后得到的结果,得到{F ' (x) sin x - F(x) cos x} 在0到π的范围内的积分:


这里π = a/b。就像我们之前说过的,F(π) + F(0)是一个整数,当F(x)微分任意次数时,我们得到的结果是x = a/b = π和x = 0。

但由于f(x)是一个多项式函数,对于0


所以积分是正的,但实际上对于一个非常大的n值来说是不成立的,因为常数或上界在更大的n值中趋向于0。


换句话说,本应该对任何n值都有效的积分在更大的n值时不成立。因此,有两个地方可能出了问题,要么是在积分过程中出现了错误,要么是π实际上不能写成a/b。但如果你用多种方法来验证积分过程,结果总是一样的,那么只剩下一个选择:π≠a/b,也就是π是无理的。

虽然现在有很多人记住了π后面的很多位小数,但只有少数人知道如何证明它的无理性。虽然有很多证明,但伊万-尼文的证明是最简明的。如果认为这是理所当然的,那就失去了数学所能提供的所有乐趣。

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