中世纪埃及和叙利亚的弧形伊斯兰星形图案

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

本文讨论和说明了7种最有趣和最美丽的弧形伊斯兰星形图案，这些图案或是是在埃及和叙利亚的历史遗迹上发现的，要么是Bourgoin 1879年出版的《阿拉伯几何图案和设计》一书[1]中的插图，或者两者兼而有之。这些图案——有些被认为是马穆鲁克时期的杰作——出现在青铜或木门上，它们由圆弧组成，单独或与线段结合。许多曲线图案也有类似的仅由线段构成的“双胞胎”。我们给出了其中三种图案的合理的欧几里得结构，它们都可以归类为p4m，p6m或CMM对称群。

引言

在几何伊斯兰装饰中，许多平面往往被无休止的重复图案所覆盖，其中大多数图案的特点是高度对称的、复杂的星形多边形设计。最常见的几何伊斯兰图案完全由直线段组成。然而，在中东，特别是在马穆鲁克时期（13-16世纪），一些华丽的星形图案是由圆弧组成的，单独或与线段结合。许多这些弧形图案也有类似的仅由线段组成的 "双胞胎"。在《阿拉伯几何图案与设计》[1]中，19世纪的法国建筑师Jules Bourgoin收集了开罗和大马士革的历史遗迹上发现的200多个伊斯兰图案的目录，其中19个图案包括弯曲的星星。本文将研究Bourgoin的几个最有趣的弯星图案，此外还有一些在[1]中没有的图案。

第一张照片(来自[2]的图像的裁剪版本)是埃及开罗Barsbay的Khanqah WA-Masjid(修道院-清真寺)的讲坛，可以追溯到1453年(下一页图1)。被认为是马穆鲁克的杰作，巨大的雕刻木板上镶嵌着象牙。整个图案完全由12颗星(一颗完整、五颗半星和四分之一颗星)及其周围的五星和八角形的圆弧组成。该图案的骨架版本(也就是，如果绘制时没有“上下”交错)可以被归类为p4m，因为它表现出四重旋转对称，在四个方向上具有镜像线(彼此成45度角)。

第二张照片（目录号SYR0507[3]的裁剪版）显示了叙利亚阿勒颇大清真寺木雕门的一部分（可能是阿尤布时期或马穆鲁克时期的）（图2）。该图案也完全由圆弧组成，中间有两颗12星，靠近长方形面板的顶部和底部，每颗星的周围有8颗相邻的5星。在面板的四角有四个四分之一的8星，在两个垂直边缘的中点有两个半8星。这个图案的骨架版本也可以归类为p4m。

第三张照片([2]中图像的剪裁版本)显示了一扇青铜门--也被认为是马穆鲁克的杰作--是马德拉萨·苏丹·纳斯尔·哈桑(Madrasa al-Sultan al-Hasan Hasan)的杰作，可以追溯到1363年(图3a)。该图案仅由圆弧组成(可能除了位于门中心的两个小七边形以外)。它由两颗大的16星组成，位于中心，朝向矩形面板的顶部和底部，每颗星都被8颗相邻的5星包围。在角落是四颗十二星的四分之一，在两个垂直边缘的中点是两颗半十二星。该图案的骨架版本(如图3b所示，来自[1]的板131的裁剪版本)也可被归类为p4m。

几个世纪前，工匠们是如何创造这些美丽的图案的？很少有书面记录可以明确地回答这个问题，尽管这很可能需要相当多的几何学实践知识。从10世纪开始，数学家和工匠之间举行了会议，并写下了指导工匠如何进行基本几何结构的“实用几何”手册，因此，似乎至少有一些工匠能够运用几何结构技术来生成图案。在下一节中，我们将考虑并提出合理的欧几里得（圆规和直尺）构造（不包括任何形式的测量），以生成[1]中19幅草图中具有代表性的四种由弯曲的星星图案组成的图案。

Bourgoin的图板1号：6角星图案

Bourgoin的图版1由两个类似的图案组成；图版顶部的图案仅由线段构成，由规则的6角星组成，周围是顶点对顶点连接的规则六边形，如作者的创作所示（图4a）。我们所说的规则是指所有边和所有内角都是全等的。图版1的底部图案完全由弧形6角星和弧形六边形构成，是顶部图案的 "孪生兄弟"（图4b）。这种弧形6角星图案的一个例子（图4c）可以在阿勒颇找到，是一个带有上下交错的石雕门楣。图版1中“双胞胎”图案的骨架版本都可以归类为p6m图案，因为6星的中心作为一个6倍的旋转中心，多个镜像轴可能通过该点（三个方向，相距60度）。

当以线段“孪生”为基础时，构造弯曲的6星图案是非常容易的。用给定点定义的半径以突出显示的点为中心构建一个圆(如图4d所示)。以相同的方式再创建五个全等圆(图4e)，突出感兴趣的弧线，擦去现在不再需要的圆和线段（图4f），这就得到了弧形6星（图4g），现在我们可以用它来分割平面，实现图4b的图案。

Bourgoin的图板180号和181号：10角星图案

Bourgoin的图板180号和181号(图5a和5b是作者对它们的再现)也是两个类似的“孪生”图案。两颗星星都由规则的10尖角星星围绕着风筝形状的多边形构成;前者仅由线段构成，后者仅由圆弧构成。为了创造图板180中出现的{10/3}星形多边形，用线段连接圆上等距的十个点中的每三分之一。图板180和181的图案都可以被归类为属于cmm对称，因为每个图案都有水平和垂直的镜面，都有双倍的旋转中心和一些偏离镜线的中心。作者无法在埃及或叙利亚找到这两种十星图案的现存实例，但是在阿曼发现了图图板181的现代作品[4]，在巴格达的Madrasah al-Mustansiriya[5]可能发现图板180中的图案实例。

图板181的弯曲星形图案的构建比图案1略有挑战。从图板180的图案的矩形重复单元开始，在图案的现有点之间构建4个线段，找到每对相交线段之间的两个交点，并将这些点用作两个圆的中心(下一页图5c)。不再需要这些线段，因此将其删除。接下来，在风筝形状的两个现有点之间构建一条线段，并从线段一端的八分之三处找到该点(通过查找多个中点)。这个点现在可以用作图5d所示的两个大圆中的一个的中心；另一个大圆也可以用同样的方式构造。突出显示这四个圆圈的感兴趣的弧线，以创建十角星的主要曲线图案(图5e)。重复此过程以创建整个弯曲的十角星，然后擦除圆圈(图5f)。用相同的十角星以重复单元的角为中心，可以用刚才描述的相同方式创建它们的花瓣(图5g)。然后，要构建完成重复单元所需的剩余圆弧，请在现有点之间构建两条直线段(一条垂直，一条水平)，然后使用它们的交点作为圆的中心，如图5h所示。突出显示感兴趣的弧线并擦除圆圈，然后再重复此过程五次，以生成图5i。要构建所需的最后一个圆弧，请在现有点之间构建一条短线段，并使用其中点构建通过现有点的圆(图5J)。突出显示感兴趣的圆弧，再次重复该过程以获得最后一个圆弧，然后擦除所有现在不再需要的点、线段和圆，以产生重复单元(图5k)，该重复单元可用于镶嵌平面并实现图5b。

Bourgoin的图板120号和121号：9角星和12角星设计

Bourgoin的图板120和121是另一组类似的“孪生”图案，它们共享完全相同的数学结构。这两种模式都由规则的12角星和“近乎”规则的9星组成。图板120中的图案的多边形由直线段构成，从而形成{12/5}星形和{9/3}星形；而圆弧用于创建图板121的图案。要创建出现在图板120的图案中的{12/5}星形多边形和{9/3}星形图形，请分别与圆上12个等间距点中的每五分之一和圆上九个等间距点中的每三个点连接线段。在[6]中可以找到这一模式的一个似是而非的欧几里得重建。第120号和第121号板上的两个图案似乎也来自马穆鲁克时代，在青铜门上都可以找到——第一个在al-Sultan Baybar II的Zawiya神殿，可以追溯到1310年(图6a)，第二个在清真寺，可以追溯到1363年(图6c)——都是从[2]裁剪的图像。图板120和121的两个孪生图案(由作者重建并在图6B和6D中示出)的骨架版本可以被分类为P6M。

构造Bourgoin 的121号图板的弧形星图案比构造181号图板更具挑战性。对于前两个结构，作者使用类似的直线段模式作为基础网格。对于这个图案，我们“从头开始”重新创建该模式。为此，首先构造一个正六边形和线段的中点，如图6e所示。用线段连接相对的中点和顶点，构成外接圆。从圆心延伸出的线段与圆相交，构成角平分线及其与圆的交点(图6f)。这个点现在可以用来构建一个圆使用显示的点;然后突出感兴趣的半圆弧。擦掉小圆，通过两个已有的点构成一条对角线(图6g)。该段与角平分线的交点可用来通过所示的点构成一个圆。用同样的方式再画两个与这个相同的圆，然后突出感兴趣的弧线，得到一个完整的曲线星点(图6h)。以相同的方式构建剩下的11个星点，并在星点的中心画一个圆，如图6i所示。

要确定包含在图6b的门上发现的整个图案的矩形区域，请将垂直线延伸通过星星的中心，并在向上和向下两个方向上重复四次刻在星星内的圆圈(图6J)。在最外面的垂直圆与垂直线段相交的位置，构造两条垂直(和水平)的线段。然后，通过星形的现有点对角线延长线，直到它们与垂直线段相交。将这些交点连接起来，形成两条垂直线段，形成所需的矩形。然后延伸从星形中心发出的线段，直到它们与矩形的垂直边相交。最后，将这些交点与矩形的角点连接起来。要形成围绕12颗星的5颗星，首先通过显示的现有点构建一个圆，然后突出显示感兴趣的弧线(图6k)。重复此过程以生成图6l的所有圆弧。要创建“箭头”形状，首先构建四个圆，它们与用于确定矩形长度的圆相同(如图6J所述)，并突出显示感兴趣的弧线(图6m)。通过现有点再构建两个稍大的圆，并在这些点上突出显示感兴趣的圆弧。最后，要完成五星，构建一个更大的圆圈，突出显示感兴趣的弧线(图6o)，然后重复该过程，再创建11个五星(图6p)。因为有四颗四分之一十二星以矩形的角为中心，所以我们可以使用相同的过程来构建那里的弧线(图6q)。要创建“箭头”形状的弯曲顶部，请构建两个“交叉”线段，并使用交点构建一个圆，然后再构建三个全等切圆(图6R)。高亮显示感兴趣的圆弧，然后删除其圆圈。要创建9星，首先构建另一个以矩形为中心的大圆，该矩形与现有的较小圆相切(图6S)。然后以这条线和之前构建的大圆的交点为中心构建一条线段和另一个圆。构造另外两个与最后一个相同的圆，然后突出显示感兴趣的弧线，以形成弯曲的9星花瓣的最外面部分(图6T)。抹去现在不需要的圆圈。要构建9星的内部部分，请使用突出显示的点构建一个圆，并跟踪感兴趣的弧线(图6U)。如果是9星花瓣，重复这些步骤以产生其余的花瓣(图6v)。要完成“箭头”形状，请构造两个最后的圆和一个线段，并突出显示感兴趣的部分，如图6w所示。以相同的方式完成另外两个箭头(图6x)，重复这些步骤以填充剩余的空格，图案就完整了(图6d)。

Bourgoin的图板135号：一个16角星、12角星和7角星设计

Bourgoin图板135号的图案很有趣，因为它包括由线段形成的大的{16/7}星形多边形的一半，以及由弧形形成的同一颗16星的完整弯曲版本。这颗弯曲的星星周围环绕着大的{12/5}和小的{7/2}星形多边形，它们都是由直线段组成的。为了创建{16/7}、{12/5}和{7/2}星形多边形分别与圆上16个等间距点中的每7个、圆上12个等间距的点中的每五分之一以及圆上的七个等间距的点中的每一秒连接线段。这种图案可以在清真寺(Masjid al-Amir Qijmes al-Ishaqi)的一个木板上找到，上面镶嵌着象牙和扎尔纳山(一种贵金属，镶嵌在由铜等另一种金属制成的物品中)，可以追溯到1481年，也被认为是马木鲁克的杰作。分别参见图7a和7b，以获得Minbar的弯曲16星的部分和特写视图。图7c中给出了作者对板135图案的再现。这种模式可以归类为p4m。

由于篇幅所限，本文只讨论Bourgoin的图版135的弧形16星的构造。首先构建一个正方形，它的两条对角线，它的中心点和连接正方形边缘相对中点的两条线段（图7d）。构建一个以正方形中心为中心的刻圆，以及一条连接该中心与圆和一条对角线的交点的线段；然后构建该线段的中点。接下来，以正方形的中心为中心，通过这个中点构建第二个圆，如图7e所示。然后构建一个角平分线以及它与小圆的交点。构建第二个角平分线及其与小圆的交点，这将成为一个更小的圆的中心，如图7f所示。保留这个圆的一半，并重复这个程序，以获得星形的内弧，如图7g所示。同时保留图中的三条线段和两个点。现在，构建一条连接这两点的垂直线段，一个交点和一个以该交点为中心的圆，如图7h所示。以类似的方式，构建第二个全等的圆，突出这两个相交圆上的感兴趣的弧线，得到星的一个点（图7i）。

重复这个过程并擦除圆圈，以完成16颗星的所有弯曲点（图7j）。为了在剩余的空间中创造花瓣和箭头形状，构建三条线段，从正方形的中心出发，穿过现有的星星点，直到它们与正方形的边缘相交；现在用一条线段连接其中的两个点，以形成第三个三角形的线段和交点，如图7k所示。利用正方形的中心和这个交点，构造一个与第一个（内嵌）圆同心的圆。以刚刚构建的圆为中心，在图中的交点处构建两个全等的小圆（图7l）。构建一个环绕原正方形的圆，其半径穿过一个现有的点，直到它与这个圆相交（图7m）。以这个交点为中心，通过现有的点构建另一个圆（图7n）。在这三个相交的圆上突出感兴趣的弧线，然后隐藏这些圆，得到形成星星花瓣的弧线；在16颗星星的周围重复这一过程（图7o和7p）。剩下的工作就是构造“箭”形。因此，以现有的点为中心，再构建两个大圆圈（图7q），突出感兴趣的弧线（图7r），然后重复这个过程，完成16颗星的曲线。重复这个过程，完成图7s中所示的弧形16星。Bourgoin的图版135中的图案框架，由直线段组成，中心是弯曲的16星（图7t）。

参考文献

[1] Bourgoin, J. (1973). Arabic Geometrical Pattern and Design, Dover Publications. Original 1879.

[2] Thesaurus Islamicus Foundation Islamic Art Network Photo Archive, available at http://www.islamicart.org/PhotoArchive/.

[3] Pattern in Islamic Art: The Wade Photo Archive, available at http://www.patternsinislamicart.com

[4] http://renaissancetours.com.au/?attachment_id=1701

[5] https://www.google.com/search?q=al-mustansiriya

[6] Bodner, B. L. “From Sultaniyeh to Tashkent Scrolls: Euclidean Constructions of Two Nine- and Twelve-Pointed Interlocking Star Polygon Designs,” in Nexus Network Journal, Vol.14 No.2 (autumn 2012).

[7] http://www.elazhar.com/mosque_eu/61.asp

[8] B. Lynn Bodner, Curved Islamic Star Patterns of Medieval Egypt and Syria

青山不改，绿水长流，在下告退。

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