从圆周率说数学

从圆周率说数学

凡是有点天赋的人，都有偷窥的弊好，也算是恶习。他们喜欢偷窥大自然这个上帝的私密，所以他们会被上帝惩罚。他们中的一些人不是贫穷潦倒，就是命运多舛。总之他们是属于在世俗人们眼里看起来是不正常的人。但是他们也是有血有肉，有七情六欲，也是有情感的高等动物——智慧的人，仅仅是他们把自己的精力放在了好奇和探索自然界的奥秘上了。

凡是上过初中的人学到圆周率时都会有这个困惑或提出这个疑问：圆周率为什么是无限不循环小数？而真正能给学生回答清楚的人不多。直到现在在网上还有许多人理解不了这个问题，会出现稀奇古怪的神回答。有些人理解了，但是不是很全面；有些人理解后表述不清。我给大家讲解一下。

上小学时我们学过计算圆的面积，简单的方法就是把一个单位圆（直径等于1的圆），分割成偶数的几个相等的“等腰三角形”，然后拼接到一起就是一个长方形。它的长就是圆周的一半，它的高就是圆的半径。这是一个近似值，我们知道把圆分得等腰三角形越多，这个圆的面积越接近真实的圆面积。

后来我们上了初中，学了几何学和三角，我们就可以直接把一个圆分成许多等腰三角形了，计算一个三角形的面积后，再乘于等腰三角形的个数就是圆的面积。同样这也是一个近似值，我们会发现三角形分得越多这个值越接近真实的圆面积。

用这个方法我们就可以计算圆周率π了。

那么圆周率为什么是无限不循环小数？是其它性质的数不行吗？

下面我用简单易懂的方法回答这个问题。

首先，我们学过“数轴”吧？在纸上画一条直线，在这条直线上靠中间的位置点上画一个点，标注O作为零点，然后左、右画等分的线段，标上1、2、3……和-1、-2、-3……。这样就画成了一个数轴。

有了数轴的知识直角坐标系的概念就容易建立了，画两个数轴，把其中的1个旋转90度，形成垂直于我们平面的数轴。然后把两个互相垂直的数周的O点相重合，就形成了一个平面上的直角坐标系。水平轴我们可以叫x轴，垂直的我们叫y轴。

上面的内容好理解吧？理解了文章往下读。

其次，用一个单位长度的线段做直径，画一个单位圆（直径为1个单位长度的圆为单位圆）。

在单位圆上我们任意取一点A，然后从这一点剪断，拉直就形成了一段线段。起点是A，终点是B。数学是一种抽象的概念，这条线段的粗细我们认为是没有实际宽度和直径的。这是在圆周上取一点的情况。

如果在圆上取A、B两点，同时保持等分圆弧，就形成了直径和圆弧的关系。

如果在圆周上等分取三点，把3点在圆内连接到一起，圆里面就是一个等边三角形。

取在圆周上四点、取五点、取六点……，圆内就是依次增多的等腰三角形。

把一个圆分成几个等腰三角形，三角形底边的一段线段就是圆周上的一段“弦”，而与弦相对应的就是一段弧线。把圆中的三角形分得越多，这段圆弧上的弦和弧线之间的距离就会更加接近。现在关于圆周率的问题就转化成了一条直线和一段曲线的问题了。研究了圆弧上“圆弧和弦随着直径或弦长变化的关系”也就回答了圆周率为什么是无限不循环小数的问题。

我们知道研究数学问题时是可以相对转化的。如果单位圆的直径不变，而是增加圆内等腰三角形数量，直至无穷多。这与取圆周上一段线段长度不变，单位1的线段，而圆的直径逐渐变大乃至无穷大的效果是一样等价的。

来吧，让我们画图。

在一张纸上画一段线，一段为A点，另一段为B点 ，长度为1个单位长。

过这两点画一个直径为1的单位圆。

这时过AB两点就会出现一段圆弧。

其实，线段AB就是这段弧长的弦线。

线段AB的中心点为D，过D做垂直线与圆弧相交E点，

DE这段弧高我们设为H，高度0.25 。

随着直径在变大，弦高H在减小。也就是圆弧AB向弦AB在靠近。

圆的直径可以取无穷大，而H是在趋近于零，但是永远不会等于零。也就是说圆弧是在无限的接近弦AB，但是两者永远不会重合。

因为弦AB和弧AB是在无限的趋近，所以圆周率只能是无限不循环小数。

假如有人能画一个已知宇宙那么大的圆，我们如果站在圆弧上，就是太阳系的直径我们测绘到的也只能是一条直线，但是它确实是一个巨大圆弧上的一段弧线。

这样讲吧：直线和曲线是在两个不同维数的空间里（直线在一维空间里，曲线在二维空间里），它们永远不会重合！

最后，我们用物理和时空去理解这个问题是这样的。我们的所生存的空间是连续的，是不可分割的，空间没有间断点。也就是说可以把一个东西无限地分割下去，没有尽头。也就说宇宙不论是宏观的和微观的都是无限的。即微观世界没有下限，而宏观宇宙无限大。

当然我们的现实世界是由物质构成的，分割到分子级它的化学性质就改变了，分割到原子级就是另一个物质世界了。但是在理论上时空上下都是无限的。有人讲了我们的宇宙是弯曲的，有界而无限，那是另一回事。我们是从纯数学上来理解我们的宇宙——上下都是无限的。

看懂了吗？看懂了将来学《高等数学》就容易了，极限概念是微积分的基础，有了极限概念你才能学好导数、微分和积分。

在数轴上你找到3，在3后面不远处你在数轴上画一个空心的原点，标记上π。圆周率就是从3向π的一个箭头，它从3这一点无限的靠近π，3.1415926…….但是它永远到不了这一点，就像一个黑洞、无底洞，一直走下去，即不间断也不重复。

我们知道语言是一种思维方式，汉语和英语有着不同的思维方式。数学也是一种思维方式，用数和形看宇宙。不要拿数学开玩笑，什么1+1›2，还有什么两口子生了个孩子就是1+1=3了。

一个人如果没有数学思维就是智商不健全的人；一个国家或民族不重视数学的教育，那么这个国家永远实现不了现代化。因为数学决定了一个民族的科学素质和对自然界的思维方式。

李铁钢

2021年3月12日