中考数学的重要补充——弦切角定理的证明

弦切角定理是以前初中九年级关于圆的定理之一，是一个非常重要的定理，但是现在在教材中已经被删除了，所以知道弦切角的定义，弦切角定理的内容的学生并不多。能够证明，运用的人就更少了。老黄在这里就给大家做一个全面的介绍。

首先要知道什么是弦切角。弦切角就是切线和过切点的弦之间的夹角。如图1，PA切圆O于点P，弦PB与PA的夹角∠APB就是弦PB与切线PA之间的弦切角。

图1

注意：弦切角总是成对出现的，图中∠APB的邻补角也是一个弦切角。由一条切线可以做出无数个弦切角，只要将PQ绕P绕转，得到的弦与切线PA都能形成新的弦切角。而一条弦只能做出两组相等的弦切角，一共四个。就是过弦的两个端点可以作圆的两条切线。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角。如图2，弦切角∠APB等于弧PB所对的圆心角∠POB的一半，也等于弧PB所对的圆周角∠PCB。

图2

证明弦切角定理的方法有很多，这里提供两种。

第一种方法可以通过证明“弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半”，再根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”的圆周角定理得到定理后面的部分。

证明之前要先把文字性的命题用数学的方法表示出来，即写出条件，并作图。以图2为例，已知PA是圆O的切线，PB是圆O的弦，点C在圆O上，证明∠APB＝∠POB/2=∠PCB.

证法1：如图2，因为PA是圆的切线，所以∠OPA=∠APB+∠OPB=90度。【切线的性质：切线垂直过 切点的直径】

所以∠APB=90度-∠OPB。

在三角形POB中，OP=OB，所以∠POB=180度-∠OPB-∠OBP=180度-2∠OPB。【等腰三角 形的顶角公式】

所以∠APB=∠POB/2.

又∠PCB=∠POB/2，所以∠APB＝∠POB/2=∠PCB，得证！

第二种证明方法可以先证明“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”，再根据圆周角定理，得定理前面的部分。这时候为了证明的方便，我们可以根据“同弧对等角”，设弦BC过圆心O，如图3，增加BC是圆O的直径的条件。

图3

证法2：如图3，因为PA是圆的切线，所以∠OPA=∠APB+∠OPB=90度。

又∠BPC=∠OPC+∠OPB=90度。【直径BC所对的圆周角∠BPC是直角】

所以∠APB=∠OPC。【同角等余】

又OC=OP，所以∠OPC=∠PCB，【等边对等角】

所以∠APB=∠BCP。

又∠PCB=∠POB/2，所以∠APB＝∠POB/2=∠PCB，得证！

在中考数学中，有时候需要利用弦切角定理，如果要进行一次证明，就会很麻烦，因此老黄建议需要的时候可以直接运用，在结论的后面注明自己的依据是“弦切角定理”就可以了。另外，弦切角定理的逆定理也是成立的，可以用来快速判定切线，用起来非常方便。