1960年高考数学压轴题，解方程，初中生直言能得满分

1960年高考数学卷的题型设置与1959年基本保持一致，同样是五道大题。但是，1960年高考数学卷又有其自身特点，比如当年的压轴题即第五道大题是一道选做题，题目中共有两个小题，考生任选一题即可，这与现在全国卷第22、23题的设置类似。

本文就和大家分享一下当年高考数学的压轴题。

从题目可以看出，这道题实际上一道解方程类的题目，第一小题是考查一元二次方程的求解，第二小题考查二元一次方程组的求解，难度都不大。不少初中生看过题目后直言这两个小题能得满分，甚至有人感叹自己早生几十年说不定也就是个学霸了。

接下来我们一起来解一下这两道题，先来看第一小题。

本题中的方程是一个一元二次方程，当一元二次方程两个很相等时，判别式△=0，即（-4sinθ）^2-4×2×3cosθ=0。整理得：2(sinθ)^2-3cosθ=0。

根据同角三角函数的平方关系可得：(sinθ)^2=1-(cosθ)^2，代入上式整理后得到：2(cosθ)^2+3cosθ-2=0，因式分解为(2cosθ-1)(cosθ+2)=0。

由于-1≤cosθ≤1，所以1≤cosθ+2≤3，也就是说cosθ+2不可能为零，则只能是2cosθ-1=0，所以cosθ=1/2。

又因为θ为锐角，所以可以解得θ=60°。

由求根公式可得x=4sinθ/4=sin60°=√3/2。

另外，在求出θ=60°后，可以将θ的值代入原方程，化简后为：2x^2-2√3x+3/2=0，然后再求解。

接下来再看第二小题。

本题是二元一次方程组，要求参数a的取值范围，需要先解出方程组的根。

解多元方程组的基本方法是消元，可以将第二个方程乘以2再减去第一个方程，就可以消去x得到(8-a)y=12。很明显，若a=8，则有0=12，这是不成立的，所以a≠8，那么y=12/(8-a)。

然后将y的值代入第二个方程，解出x=8(2-a)/(8-a)。

由于该方程组的解为正数，则x＞0，y＞0，即8(2-a)/(8-a)＞0且12/(8-a)＞0。解出这个不等式组就可以得到a的取值范围。

另外，第二小题在求a的取值范围时，可以更加快速地解决。因为方程组的解都是正数，那么y肯定大于零，也就意味着8-a＞0，即a＜8。接下来，8-a＞0，要使x也大于零，则必须有2-a＞0，即a＜2。综上可知：a＜2时原方程组的解为正数。

从知识点来说，这两个小题考查的一元二次方程和二元一次方程组都是现在初中数学的知识，初中生能够做出来甚至得满分并不意外。毕竟这两道题的难度也不大。