Si.427

美索不达米亚是人类文明的摇篮之一，它地处亚洲西南部，位于底格里斯河和幼发拉底河之间。巴比伦正是在这里诞生的一个非常具有代表性的古代社会。巴比伦存在于公元前约500年至2500年间，古巴比伦第一王朝在公元前约1900年至1600年左右的时间里控制了大片区域。

公元前约1790年的美索不达米亚及文明范围大致示意图。｜图片来源：Zoweee via Wikimedia Commons under CC BY-SA

我们对巴比伦文明的了解其实仍非常有限，但仅仅从一些惊人的历史碎片中，已经能够领略到它的神秘和宏伟。

比如，古巴比伦人采用的是六十进制的数值系统，并且相对复杂，因为他们并不是用60个截然不同的符号代表数字，而在其中还包含了一种以10为进的“亚进制”系统。

古巴比伦的六十进制。｜图片来源：Josell7 via Wikimedia Commons under CC BY-SA

六十进制其实非常适合精确计算和划分。举个例子来说，如今的时间系统仍然采用的是六十进制，而其他情况下则常采用十进制。如果你把一小时分成三份，得到的正好是20分钟，但想要把一元钱分给三个人，每个人则会拿到33分，而最后还剩下1分。更复杂的一个例子是，即使要把一小时分成48份，也能得到每份是1分15秒。

巴比伦人的这种精确的算术同样影响着他们的几何学，他们更青睐精准的几何学。

近日，数学家丹尼尔·曼斯菲尔德（Daniel Mansfield）在一块具有约3700年历史的泥板上，发现了古巴比伦应用几何学的线索。

Si.427。｜图片来源：İstanbul Arkeoloji Müzeleri

这块被称为Si.427的泥板，被认为是目前已知的最古老的应用几何学实例。它于19世纪末在如今的伊拉克中部被发掘出来，并收藏在伊斯坦布尔的一间博物馆里被展出。但直到今天，它的重要意义才真正为人所知。这项研究已于近日发表在《科学基础》上。

曼斯菲尔德的研究可以追溯到数年前。2017年，他曾推测，同一时期的另一件令人着迷的泥板文物是一张独特的三角表。

泥板“普林顿322”。｜图片来源：UNSW/Andrew Kelly under CC BY-SA

这块破碎的泥板被称为“普林顿322”，它来自拉尔萨古城，年代大约在公元前1762年到1822年间。20世纪20年代，考古学家兼冒险家埃德加·班克斯（Edgar Banks）将它卖给了美国著名慈善家乔治·阿瑟·普林顿（George Arthur Plimpton），并于1936年随普林顿收藏的所有数学文物一起，捐赠给了哥伦比亚大学。

早在1945年，这块泥板上被发现包含一个非常复杂的整数列，它满足毕达哥拉斯定理（又称勾股定理）a²+ b²= c²，这是直角三角形中三条边的基本关系。类似的a，b和c三个整数也被叫作毕达哥拉斯三元数组（或勾股数），像（3，4，5）、（5，12，13）和（8，15，17）都属于这类数组。

而这一发现证明，早在希腊数学家毕达哥拉斯出生前1000多年，巴比伦人就已经掌握了这种关系。

2017年，在对普林顿322进行研究后，曼斯菲尔德还假设，这块泥板可能具有一些实际的用途，比如用于修建宫殿和庙宇、建造运河或者勘测土地。

曼斯菲尔德和普林顿322。｜图片来源：UNSW/Andrew Kelly

而当新泥板Si.427出现后，他终于想通了，巴比伦人为什么对几何学感兴趣——实际上，他们是想划定精确的土地边界。

Si.427的年代被认为应当早于普林顿322，它是目前唯一已知的古巴比伦时期的地籍文档的实例，也就是一张土地勘测员用来定义土地边界的平面图。它告诉了我们，一块土地在被分割以及出售后的一些法律和几何细节。

历史上，正是在这一时期，土地开始私有化，人们开始用“我的土地”和“你的土地”来看待土地归属，并希望划定合适的边界，建立起一种和谐的邻里关系。

这也恰恰是Si.427所展现的，这块土地被分割，并建立起新的边界。制作出Si.427的古代勘测员使用到了各种不同的毕达哥拉斯三元数组，来构造精确的直角。

曼斯菲尔德认为，这两块泥板之间的关联是，Si.427所代表和展现的这类勘测问题很可能启发了之后普林顿322的出现。

曼斯菲尔德和Si.427。｜图片来源：UNSW Sydney

在巴比伦六十进制的数字系统中，用大于5的素数进行计算其实会遇到一定困难。这就带来了一个非常特殊的问题，这种独特的六十进制数字系统意味着，只有一部分毕达哥拉斯三元数的形状能够被用到。而普林顿322的制作者似乎正是在仔细研究所有这些形状，从中找出一些真正有用的。

正是这种对矩形和三角形深入的实际应用，加上高度数值化的理解，让巴比伦人发展出了一种属于自己的“原三角学”（proto-trigonometry）。

这种三角学和现代三角学有很大差异，但它的一个显著特点就是精确性，因为它只使用精确的数字比率，不存在无理数，也不涉及角度，更没有sin、cos、tan或者任何近似值。巴比伦人正是用这种独特的原三角学来解决有关土地测量的问题。

在差不多同一时期的其他泥板上，同样隐藏着一些关于土地边界的故事的线索。

另一块泥板指向了当时一位杰出人物“Sin-bel-apli”和一位富有的女性地主之间的纠纷。这场纠纷有关他们两块土地边界上的珍贵枣椰树。当地官员同意派遣一名勘测员来解决争议。不难看出，想要解决两位如此有权势的人之间的争端时，准确性是多么重要。

这些边界的划定方式，揭示了当时人们对几何的真正理解。用曼斯菲尔德的话说，或许没有人料到巴比伦人会以这种方式使用毕达哥拉斯三元数组。它受当时实际问题的启发，更接近纯数学。而这些泥板的发现和分析对这一时期数学史的研究具有重要意义。

曼斯菲尔德和Si.427。｜图片来源：UNSW Sydney

接下来，曼斯菲尔德还希望找到巴比伦人对原三角学的其他应用。

此外，他还有一个谜团尚未解开：在泥板背面的最底部，有大字字体列出的六十进制中的数字“25:29”，就好像25分29秒一样。他说：“我搞不懂这些数字是什么意思。这绝对是个谜。我希望能和其他历史学家或者数学家讨论，他们也许对这些数字的含义有什么想法！”

我们才刚刚开始了解这个古老的文明，它可能蕴藏着更多秘密，等待被发现。

#创作团队：

文字：Måka

#参考来源：

https://www.eurekalert.org/news-releases/923620

https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10699-021-09806-0

https://www.newscientist.com/article/2285917-babylonians-calculated-with-triangles-centuries-before-pythagoras/

https://theconversation.com/written-in-stone-the-worlds-first-trigonometry-revealed-in-an-ancient-babylonian-tablet-81472

#图片来源：

封面设计：Takeko；素材来源：UNSW/Andrew Kelly & İstanbul Arkeoloji Müzeleri