黄金螺旋：误解的起源

在所有关于黄金比例的无凭无据的说法中，最令人费解的是黄金矩形决定了鹦鹉螺壳的比例，因为这显然是错误的。鉴于在互联网上可以找到大量的错误信息，各种各样的想法可能是不可避免的，其中一些错误并不非常明显，但令人惊讶的是，最先出现的谬误可能要追溯到19世纪，后来又不断出现一些有趣的近似构造方法，直到今天越错越离谱。

介绍

关于艺术、设计和自然中是否存在黄金比例的争论不太可能在短期内得到解决。在某些情况下，它的存在是无可争议的（例如，在一些艺术家的作品中，艺术家声称自己故意包含了黄金比例，比如任何基于正五边形的设计，等等），但有争议的例子的不计其数，并继续增加，无穷无尽。可能没有什么新东西可以改变任何一个主角的观点，但一些关于黄金比例和对数螺旋线的断言继续不加批判地重复，显然是不正确的。即使是最坚定的狂热者也承认这一点，一旦他们看了[1]的证据（虽然，他们通常会改变立场），使这些想法的持久性特别令人困惑。

可悲的是，"鹦鹉螺壳的螺旋形状通过一个神圣比例逐渐变大"的说法只在流行的黄金比例Φ的庆祝活动中才会出现，[2]但通常谨慎的作者[4]在教育书籍[3]中的类似论断令人担忧。要知道，这种说法并不正确。

这些反常现象在20世纪初几本有影响力的书的背景下变得更加容易理解，它们的故事为思想史提供了一个有启发性的插曲。关键人物是西奥多·库克（Theodore Cook），他写于1903年的书《自然与艺术中的螺旋》（Spirals in Nature and Art）一书，代表了一个分水岭。在这本书出版之前，自然形态当然被设计师所使用[6]，但对建筑和自然形态学的数学方面的兴趣主要限于学术界。此后，E.Ray Lankester在其序言中提到的"一个更有限的研究方法可能会阻止的推测性概括的过程"是一个持续增长的潮流的开始。直到我们这个时代。这本书没有提到黄金分割率或斐波那契数（即使简要地考虑了植物轴），至少在英语世界里，人们对黄金分割率的兴趣可能直到10年后出现在库克的《生命的曲线》（The Curves of Life）中才开始，尽管齐辛（Zeising）[7]在半个世纪前就推广了黄金分割。

爱奥尼亚涡旋

比例一直是建筑中的一个重要考虑因素。罗马建筑师维特鲁威在他的第一本书第二章（《建筑所依赖的那些东西》）中开始说："建筑取决于适合......"，他继续将其定义为："根据不同的用途调整各部分的大小，并要求适当考虑结构的一般比例"。[8] 当他谈到细节时（在第三和第四册），他的比例总是整数比例。后来的作家追随维特鲁威，也认识到在古典建筑中故意引入了轻微的变化，以补偿视觉失真。J.Pennethorne对这些修正特别感兴趣，他很快就被F.C.Penrose加入，他对古典废墟进行了一系列全面的详细测量，他们之间发表了一系列重要的论文和书籍。

Pennethorne[9]包括对爱奥尼亚涡旋的详细考虑，并跟随早期的作者设计了一种建筑方法，确定了资本的关键尺寸和其柱子的其他部分之间的比例。他评论说（第135页）

螺旋线的概念和其他曲线的概念一样，是由我们在自然界中发现的许多形式所暗示的：它也可以从圆锥体中得到，方法是设想一条从底端到顶点的连续线绕着它。在古代几何学中，我们有阿基米德螺旋线，希腊装饰品中的一些螺旋线也许会被发现是这种形式的曲线的真实例子；但在爱奥尼亚式大写字母的例子中，维特鲁威明确指出，螺旋线是由圆组成的，从现有的希腊涡旋上提取的描图清楚地表明情况就是这样。

他首先在一系列矩形的基础上构建了一个螺旋形的直线（图1），这些矩形通过整数比率连接，与完整的柱子的比率有关，然后需要找到圆弧的中心。他描述了这给他带来的一些困难，直到为该书绘制图版的约翰·罗宾逊发现了他所描述的方法。它需要在前三个矩形的边上进行线性递增（图2），因此前三个象限近似于阿基米德螺旋。每个嵌套的矩形都要重复这个结构，它们之间有固定的比例关系，所以他的涡旋，经过特别设计，在美学上是可以接受的，相当于一个由（近似）阿基米德螺旋的弧线近似的对数螺旋。

图1：Pennethorne的矩形螺旋

图2：他的螺旋由圆弧构成

图3：由圆锥体绘制的涡旋结构

使用圆锥体的构造（图3）[10]将产生一个阿基米德螺旋的渐开线的近似值，因为生成半径偏离水平线时引入的误差很小。班尼斯特·弗莱彻（Banister Fletcher）（图4）[11]通过使用海螺壳而不是圆锥体来改进该方法。弗莱彻没有讨论他的创新，但其最明显的优点是，棉线被固定在壳周围的凹槽中，所以它不会滑动。此外，由于凹槽是对应于对数螺旋的螺旋线，而螺旋线是其渐开线的近似值，它本身就是一个对数螺旋。

图4：班尼斯特·弗莱彻构造螺旋的方法

自然与艺术中的螺旋[12]

西奥多·安德烈亚·库克（Theodore Andrea Cook）是一位兴趣广泛的记者和体育家。[13] 在《自然与艺术中的螺旋》于1903年出版时，他已经出版过关于法国城堡的书籍，[14,15] 他的主要目的是确定达芬奇是位于图兰的布洛瓦城堡的太阳拱门的设计师。他在早期的作品中已经提出了这个建议，并指出其与贝壳结构的相似性。正如书名所示，《螺旋》通过考虑自然和艺术中的各种螺旋，对这一想法进行了扩展。再次引用序言中的话："对自然界中的螺旋形的研究本身就是一个仍然非常不完整的科学探索领域，我相信我的想法是正确的，无论是在数学还是在建筑方面，对这个有趣的主题都还没有最后的结论。" 库克的工作对大众对螺旋形的兴趣产生了深远的影响，而且，更普遍的是对科学和艺术中的形态学产生了影响。

《螺旋》在第70-72页涉及到丘奇对叶状序的解释[16]，在第122-126页的"鹦鹉螺"一章中，他引用了约翰·莱斯利的[17]和H·莫斯利关于贝壳和对数螺旋的[18]研究。本书结尾(180-190页)对"……美的微妙而又难以捉摸的原因……"特别是关于对数螺旋和它可能存在的可能性，"……对所有形式的增长都至关重要……"库克的主要观点是，不规则和微妙的变化对美至关重要，他引用弗莱彻绘制爱奥尼亚涡旋的方法作为进一步的例子，因为它使用了一个有机模板，一个海螺壳，这必然是不规则的。

生命的曲线[19]

在库克的下一本关于螺旋的书《生命的曲线》（1914年）中，他大大延伸了他早期的工作，并广泛地借鉴了其他人的贡献，特别是许多已经发表在《领域》（The Field）上的文章，他从1910年起就编辑了这本书。在他的序言中（几乎可以肯定是最后写的），他说："现在在这本书中提出的增长公式被称为φ螺旋，或菲迪亚斯螺旋，这是马克·巴尔先生和威廉·斯金先生从一个古老的原理中研究出来的新的数学概念。"他的意思在最后一章（第419页）中说得很清楚。他在《领域》上发表了丘奇的植物轴理论后，威廉·斯金曾写信给他，对黄金分割进行了解释，包括马克·巴尔建议将其称为φ比例，"......部分原因是它对那些不断与π战斗的人来说有一个熟悉的声音[表示英语发音，fie，而不是美国人的fee]......部分原因是它是菲迪亚斯这个名字的第一个字母......"。他继续考虑他所谓的菲迪亚斯螺旋，其中，"......对数螺旋的半径vectores[从极点到螺旋的连续交叉点的测量]为φ比例，其结果不仅是一个具有奇异的令人愉快的特性的螺旋，而且还有一个特点，即在任何半径上，螺旋的两个连续的曲线之间的距离之和等于沿同一半径到后续曲线的距离（见图389[图5]）。这样的φ螺旋线与......从贝壳上展开产生的螺旋线非常相似。"

图5：库克的通用例子(左)与他的菲狄亚斯螺旋(右)的比较

从下面的内容可以看出，库克已经被说服了，可能是被Schooling说服了，黄金比例是许多艺术作品的基础，但同样明显的是，他在鹦鹉螺的壳中没有看到它。他评论说："......这并不意味着艺术家有任何先入为主的想法，在他的构图中使用φ的比例，就像鹦鹉螺有任何有意识的计划在它的壳中发展出某种螺旋形。"这是他的比喻：美丽的艺术中的比例对于φ来说，就像鹦鹉螺的壳对于对数螺旋一样，但他所谓的φ螺线与鹦鹉螺完全不同。

遗憾的是，Schooling在附录中的叙述是这样开始的："与库克先生对生长和美的原理的探究有关的主要兴趣，一方面是它与斐波那契数列和植物轴的联系，另一方面是与φ螺旋的联系，该螺旋的插图发表在《领域》上，它对自然和艺术中的许多螺旋形态提供了一些启发（见图385）。" 库克的φ螺旋图是在他的图389中说明的，而不是图385，后者是一般的对数螺旋。Schooling可能是第一个误解φ和对数螺旋之间关系的人，但这不太可能，因为他是一个有数学背景的精算师。更有可能的是，亨特利（Huntley）[20]后来将他关于黄金分割率的书的最后一章专门用于对数螺旋，以及使用鹦鹉螺壳作为封面，从而加重了一些混淆，这是由印刷错误造成的。

《论生长与形式》[21]

达西·汤普森（D'Arcy Thompson）在篇幅近800页的《论生长与形式》(On Growth and Form)一书中，用了超过150页的篇幅对螺旋进行了解读。这本书是在《螺旋》出版3年后出版的，内容与库克相同，但视角不同。当自然选择被用来解释任何生物现象时，他认为有些形态是由纯粹的物理原因直接导致的。特别是对数螺旋，螺旋增长的机制的必然结果：它是通过物质（如角、贝壳等）在原有的基础上不断累积而产生的，而金融家Schooling很可能对与复利明显相似的增长感兴趣。汤普森认为很多这种增长的例子，包括黄金矩形和72º等腰三角形，尽管他在第一版构造一个螺旋的三角形（图6）。他重复莫斯利对鹦鹉螺壳的分析，并指出相邻螺环的宽度的比率约为3:1。

图6：达西·汤普森围绕72º等腰三角形的对数螺旋

汤普森在考虑植物轴时对丘奇和库克提出了非常严厉的批评，特别是他们隐含的生命论，"丘奇先生在植物轴中看到了一个有机的奥秘，一个我们无法提出任何精确原因的东西......"，他认为昌西·赖特（Chauncey Wright）是第一个对斐波那契数的意义给出数学解释的人，并引用了他1871年的论文。[22] 他显然不知道赖特1859年的论文[23]，或他1856年在古尔德的《天文杂志》上发表的文章。

从斐波那契数列在叶序上的证据中得出的不同推论有着有趣的对比。赖特是最著名的经验主义哲学家，他信奉达尔文主义，是形而上学和德国自然哲学学派的有力批评家。对他来说，植物轴是通过自然选择产生的，是叶子最有效的排列。汤普森认为，没有必要援引自然选择来解释形态学的所有方面，植物轴只是叶子起源于空间最大的地方的结果。丘奇和库克一样，都是自然哲学的传统，汤普森以这些理由攻击他。

黄金矩形

尽管弗莱彻的研究[24]是以矩形为基础的，但库克并没有提到黄金矩形（他在《曲线》的最后一章中引用了弗莱彻的研究）。汤普森将其作为日数增长的一个例子，但直到1942年版的《论生长与形式》《On growth and Form》，他才展示了一个通过顶点的对数螺旋，类似于他的金三角结构(图6)。

杰伊·汉比奇（Jay Hambidge）于1902年首次向希腊研究促进会提交了他对帕特农神庙的分析报告（[25]第138页）。1902年，科尔曼在序言中（日期为1911年12月1日）指出，他"......是第一批披露贝壳的真正对称性的学生之一"。[26] 他在《动态对称，希腊花瓶》一书的开头，简要描述了用直角三角形构建的对数螺旋，但继续说："就设计而言，我们现在可以省去螺旋的曲线了"。他继续构建特殊的矩形，其中只有一个是黄金矩形（他称之为旋转的矩形），这成为他在本书其余部分的分析基础。这是对通常顺序的有趣颠覆，比如彭纳森所描述的，螺旋线是由一系列的矩形衍生出来的。

在文献中，从汤普森开始，与多边形的黄金分割增长有关的对数螺旋一般是通过顶点构造来说明的（如图6），这种做法一直延续到现在。[27]在网上搜索黄金螺旋的图片，几乎没有通过矩形顶点的螺旋的例子。几乎所有的都是与边相切的（与图2比较），这表明它们都说明了从圆形四边形的近似构造。通常情况下，螺旋的极点是由相交的对角线决定的（跟随汉比奇），对角线是旋转的螺旋的半径，以便穿过顶点。

鹦鹉螺

在所有的软体动物物种中，肯定会有一些具有与库克的菲迪亚斯螺旋相匹配的外壳，那么为什么鹦鹉螺会被引为"黄金螺旋"的例子？库克在《生命的曲线》中关于贝壳中的扁平螺旋的章节中提供了一条线索。他开始说："在贝壳中显示的所有平面螺旋中，人们早就认识到鹦鹉螺展示了所有螺旋中最美丽的一种，而且与数学曲线非常接近，以至于约翰·莱斯利爵士写道：'这种螺旋完全类似于鹦鹉螺的一般形式和优雅的隔膜'。" 如果鹦鹉螺是最美丽的，并且你相信φ是衡量美感的标准，那么就一定有联系。最容易构建的对数螺旋（近似地，从圆形四边形中）是每转四分之一圈增长φ的系数，从黄金矩形的旋转方块中，所以两者一定是一样的。显然，这只是懒惰的想法，而且矩形的构造线足以分散注意力，使两个螺旋的区别在视觉上不那么明显，似乎没有什么理由质疑这一论断。

总结

这个故事的所有部分都起源于19世纪或更早。绘制爱奥尼亚涡旋的方法已经被描述了几百年；彭罗斯对重要的古典纪念碑进行了详细的测量，并由他和彭纳索恩在整个世纪内用于研究希腊建筑的各个方面，后来又由汉比奇使用。贝壳的形状在19世纪初就被认为是对数螺旋；在本世纪中叶，有人提出了对螺旋植物轴中斐波那契数的唯物主义解释；Zeising关于黄金分割的观点在几年前就已经发表，Fechner在大约二十年后发展了这些观点。20世纪初，西奥多·库克从他确信法国城堡中的一个特定楼梯是由莱奥纳多·达·芬奇设计的开始，写了一本书，激发了人们对螺旋线的兴趣，向大众介绍了对数螺旋线，并宣传了丘奇的植物轴理论。这刺激了通讯员，特别是威廉·斯金（William Schooling），传达了关于黄金分割的想法，这些想法可能来自于齐辛和费希纳，库克的第二本书中也引用了这些想法。同时，杰伊·汉比奇根据彭罗斯的测量结果分析了帕特农神庙，并发展了他的动态比例理论，他将其与对数螺旋线联系起来。

达西·汤普森在1917年出版了《论生长与形式》，采取了更严格的方法，这本有影响力的书更广泛地传播了关于形态学的观点，可能在这个过程中使它们更受尊重。该著作有很大一部分涉及对数螺旋，包括植物轴，并在关于贝壳的章节中提到了黄金部分。参考了丘奇和库克以前的工作，尽管没有提出严肃的批评。

虽然这些出版物都没有在一般的对数螺旋和黄金分割的具体数值之间建立明确的联系，但有一个非常明显的想法的关联，Schooling对《生命的曲线》附录的贡献似乎是一个误印，这加强了这种关联。由于鹦鹉螺的外壳是自然界中最著名的对数螺旋的例子之一，它与黄金分割相联系也许并不奇怪，尽管我仍然无法回答约翰·夏普几年前问我的一个问题：哪里首次明确指出鹦鹉螺壳螺旋的参数来自黄金分割？我可以找到的最早的例子是在20世纪80年代。

一旦一种观念进入大众意识，它就会保持顽强的存在，而承认它是错误的就会被视为一种挑战：如果人们相信黄金比例无处不在，而且据说它是鹦鹉螺外壳比例的基础，这怎么可能是真的？这似乎是[1]中的论证的动机，在证明了通常的断言是错误的之后，提出了证据来证明外壳每转半圈就会按照系数φ增长。

真正意想不到的联系，例如斐波那契数在叶序中的重要性，可以激发对数学的兴趣，并激励进一步的学习，但教育也应该培养批判性思维的习惯，(与[2]，[3]，[4]和[5]的例子进行比较)。鹦鹉螺号和对数螺线的历史说明了合理的想法如何会引起误解，然后不加批判地重复这些误解，最终导致对明显错误的断言的接受。它将形成一个指导性的案例研究，与更常见的动机艺术和数学主题一起使用，特别是黄金分割率和斐波那契数。

参考文献

[1] http://www.goldennumber.net/nautilus-spiral-golden-ratio (accessed 9 November 2014).

[2] P.Hemingway, The Secret Code, Evergreen, 2008, p. 3, see also p. 15.

[3] K.Albarn, Proportion: The Measure of Art, in Teaching Mathematics and Art, ed. L.Jones, Stanley Thornes, 1991, p. 26.

[4] D.Wells, Hidden Connections Double Meanings, CUP, 1988, p. 86.

[5] S.Kalajdzievski, Math and Art an Introduction to Visual Mathematics, CRC, 2008, p. 20.

[6] For example F.E.Hulme; J.Glaisher; S.J.Mackie; R.Hunt in Art-Studies from Nature as applied to Design for the use of Architects, Designers, and Manufacturers, reprinted from The Art-Journal, Virtue & Co. 1872.

[7] A.Zeising, Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers, Leipzig, 1854.

[8] Marcus Vitruvius Pollio, Architecture, (trans. J.Gwilt), London, 1826.

[9] J.Pennethorne, The Geometry and Optics of Ancient Architecture, London and Edinburgh, 1878.

[10] D.Wood, A Handbook of the Greek Method, London, 1889.

[11] B.F.Fletcher, Building News, 22 August 1902, p. 247.

[12] T.A.Cook, Spirals in Nature and Art, London, 1903.

[13] Oxford Dictionary of National Biography.

[14] T.A.Cook, Old Touraine, New York, 1892.

[15] T.A.Cook, Rouen, London, 1899.

[16] A.H.Church, Relation of Phyllotaxis to Mechanical Laws, Oxford, 1901-3.

[17] J.Leslie, Geometry of Curved Lines, Edinburgh, 1821, p. 438.

[18] H.Moseley, On the Geometric Forms of Turbinated and Discoid Shells, Phil. Trans.1838, pp. 351-72.

[19] T.A.Cook, The Curves of Life, London, 1914.

[20] H.E.Huntley, The Divine Proportion, Dover, 1970.

[21] D.W.Thompson, On Growth and Form, Cambridge, 1917.

[22] C.Wright, On the uses and origin of the arrangement of leaves in plants, Mem. Amer. Acad. IX, p. 380, 1871.

[23] C.Wright, The most thorough uniform distribution of points about an axis, The Mathematical Monthly, Vol.1 (April 1859), VII, p. 244.

[24] G.T.Fechner, Vorschule der Aesthetik, Leipzig, 1876.

[25] J.Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, Yale, 1920.

[26] S.Colman, Nature's Harmonic Unity, New York, 1912.

[27] A.L.Loeb and W.Varney, Does the Golden Spiral Exist, and if not, Where is its Center? In Spiral Symmetry (eds. I.Hargittai and C.A.Pickover), World Scientific, 1992.

[28] Paul Gailiunas, The Golden Spiral: The Genesis of a Misunderstanding

青山不改，绿水长流，在下告退。

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