科学界有趣的悖论：只要乌龟先跑，人无论怎么追都追不上它

在“龟兔赛跑”的寓言故事中，乌龟凭借着它的坚毅和耐力，赢过了轻敌的兔子。那么如果乌龟和人赛跑时会是怎样的情景呢？

关于此，科学界有过一个有趣的悖论，这便是公元前五世纪，出生在意大利半岛南部埃利亚的古希腊著名数学家、哲学家芝诺提出的著名的“阿基里斯悖论”。

阿基里斯悖论

阿基里斯悖论指的是埃利亚学派哲学家芝诺提出的阿基里斯和乌龟赛跑，而只要乌龟先跑，阿基里斯是无论如何也追不上它的故事。

阿基里斯是海女神忒提斯和人间的国王珀琉斯所生之子，自出生时，他便被母亲浸入冥河，除了被母亲手指遮挡住的脚后跟外，全身都刀枪不入，他是古希腊最勇猛的勇士、最善跑的英雄，正是他在特洛伊战争中两次扭转了战局。

阿基里斯一直是诸多文学家、哲学家所津津乐道的主人公。其中，关于他的善跑特征，《荷马史诗》便有阿基里斯曾经围着特洛伊城，追赶了特洛伊大王子赫克托尔三圈的细节描写。而在芝诺的阿基里斯悖论中，这个公认的善跑大英雄居然跑不过一只乌龟。关于此，芝诺是如此论证的。

芝诺提出，让爬得很慢的乌龟先行，如行至点B，然后再和阿基里斯赛跑。阿基里斯若想要追上乌龟，必须先从点A到达乌龟所在的点B，而当阿基里斯到达点B时，继续前行的乌龟势必会到达点C；当阿基里斯到达点C时，乌龟则会继续前进至点D......

如此这般，虽然AB、BC、CD之间的距离会越来越近，阿基里斯追乌龟所使用的时间也会越来越短，但无论如何阿基里斯是追赶不上乌龟的。这便是著名的阿基里斯悖论。

违背常识和数学逻辑的悖论

阿基里斯悖论是违背常识和数学逻辑的，首先从常识方面来看，很多人在听到阿基里斯悖论之后都会嗤之以鼻，认为这个结论显然是不成立的。

在现实生活中，随便一个普通人，只要不是有特殊的情况，或者像“龟兔赛跑”中的兔子那般轻敌，在与乌龟的赛跑中都是能够极其容易的超越乌龟的，这是依据人的生活经验所得出的结论。此外，还有依据学习经验所得的结论。

一般人都会将阿基里斯的追及问题当作数学问题来解答，根据数学的学习经验，阿基里斯悖论中的结论无疑是正确的，因为数字有无穷小，两点之间的距离再小也无论如何不可能等于或小于0，也就是说阿基里斯不可能追上或者超越乌龟。

其次，从数学的逻辑推理方面来看，假设乌龟的速度是1米/秒，阿基里斯的速度是10米/秒，根据公式的计算，可知阿基里斯应当在11秒左右追上乌龟。

也就是说，无论从人的生活和学习经验，还是从数学的逻辑推理来看，阿基里斯都是可以追上乌龟的。身为哲学家、数学家的芝诺显然没有理由不知道这个结论的。那为何他会提出违背常识和数学逻辑推理的阿基里斯悖论呢？

首先，阿基里斯悖论不是一个常识问题，也不是一个数学或逻辑学的问题，而是一个哲学问题。哲学的问题是看本质，而不是看现象，因此，需要透过表面的现象，突破以往经验和原有数学逻辑思维的束缚去进行探讨。

其次，阿基里斯悖论并非为了证明人是追不上乌龟的，而是芝诺为了捍卫他的老师巴门尼德的学说而提出的，为的是证明他的运动悖论和多悖论。因此，不能将人和乌龟的比赛结果作为该悖论的价值。

阿基里斯悖论与无限分割

在阿基里斯悖论中，阿基里斯乌龟的过程实则被分割成了AB、BC、CD等无数个小的距离段，即假定 AB相距1000米，BC相距100米，CD相距10米，阿基里斯即使速度十倍于乌龟，当阿基里斯每次追到乌龟起跑时的地点时，也与乌龟分别要相差100米、10米、1米的距离。

追及

如此以往，自然阿基里斯只能无限接近乌龟，却永远追不上乌龟。这种计算方式看似天衣无缝，实则牵扯到一个假设，就是无限分割的问题。

在数学的理论中，有无限分割的思想，如将一根1米长的木棍无数次三等分。从理论上这是行得通的，然而实际操作过程中，1米的三等分则会牵扯到3的无限循环问题，再次的三等分还会面临同样的问题。

这与阿基里斯追及乌龟的问题是相通的。阿基里斯追乌龟的距离段是无限多的，如果一段一段计算的话，那这场比赛永远也无法结束。即在阿基里斯与乌龟的赛跑中，空间可以无限分割，时间也可以无限分割。

但问题是，在现实世界中，一段一段的距离段是可以相加得出一个总值的，而且这个总值肯定是个定值，不可能是加起来的无限大。在物理世界中，也不存在可以无限分割的事物或者时间。普朗克就曾提出过相关学说。

人们可以将物理世界的空间和时间进行一定的划分，如将时间划分为时、分、秒、毫秒等，然而不存在无限分割下去的现象。

芝诺的阿基里斯悖论就反映了这个离散和连续系统的关系问题，认为时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。这为数学家们提供了思考的契机，即关于“有限”和“无限”的思考，这对后来数学微积分的出现，产生了积极的影响。

此外，芝诺的阿基里斯悖论在第二次数学危机，即由无穷小存在合理性问题引发的危机中被广泛讨论，后来经过波里扎诺等数学家的努力，逐步完善了极限理论。可以说，在数学理论的完善中芝诺的阿基里斯悖论功不可没。