数学社团活动的一个好项目——折纸

本文作者：刘瑞祥，[遇见] 这里感谢刘老师投稿支持！

一、数学折纸的含义和意义

所谓数学折纸，是指带有数学特点的折纸活动。比如折叠制作正多边形、正多面体等等。现行数学教材里本身有正多边形、正多面体的初步知识，但是学生往往感觉抽象难学。如果我们带领学生把这些几何形体用折纸的方法制作出来，则可以加深学生的对这些形体的认识和印象，提高数学教学效果。另外，化学课程中学到的分子往往具有立体结构，通过立体折纸还可以更好帮助学生了解分子形状。当然，和折纸有关的数学领域远不止初等几何，就不再举例了。

数学折纸，有利于学生同时动脑、动手、动眼，促使学生协调发展，帮助学生学习较为抽象的数学、物理知识，达到全面发展的目的。另外，因为有的折纸活动需要比较多的零件，如果将学生组织成小组共同制作，既可以减少浪费、降低制作难度、缩短制作时间，还可以发展学生的沟通能力和协作精神。

二、教学策略

如果开展数学折纸项目，教师应积极和数学老师沟通，了解学生的数学水平，所进行的内容宁可略低于学生的平均水平，切不可因为内容过难使得学生丧失兴趣。以“利用正方形纸张折出最大的正三角形”为例，如果要让学生证明下右图所叠正三角形最大，可能有一定难度，但如果要让学生得出右图正三角形比左图更大，则很容易。从数学上说，左图的正三角形边长就等于正方形的边长，而右图的折痕是以正方形边长为直角边的直角三角形斜边。另外学生还可以将两种折叠方法得到的正三角形叠放在一起直接比较或者利用刻度尺测量。这样做既化解了学生学习的难度，又活化了学生学到的数学知识。

再以折叠正多边形、正多面体为例，我们可以让学生通过测量验证所折叠的各个边、角相等，从而化解其中的难度。但是要注意以下两方面：一是有的资料给出的折叠方法是近似的，但并没有说明，比如下图是一种正五边形近似折叠方法的其中一步。根据几何知识，正五边形内角应该是 108°，而根据图示方法得到的角 ACB 约为 106.26°；二是折叠、测量也会产生有误差。因此我们搞清楚误差的来源，避免出现科学性错误。

三、课件的制作

现在比较常用的课件类型包括微视频、幻灯片等形式。下面笔者谈谈利用幻灯片制作折纸示范图的方法。虽然绘制图示较为繁琐，但是一旦绘制好以后可以反复应用，因此还是值得花费一些时间和精力的。限于篇幅，这里只是给出一些建议。

网络上和电子书中的图示，往往有分辨率不高、背景模糊等问题，因此最好还是教师根据资料重新绘制。我们熟悉的 Powerpoint 和 WPS 软件都提供了比较强大的绘图功能，特别是其中的图形布尔运算功能可以方便地进行图形的裁剪、拆分、重组，非常适合表示折叠效果。下左图即为 Powerpoint 中的布尔运算工具。这些工具默认是不显示在工具栏上的，需要专门调出来。

以上中图为例，如果我们要把正方形拆成两部分，可以在该正方形上覆盖一个长方形，然后单击“拆分”按钮即可。接下来把三角部分变成深色再翻转、移动到适当位置，从而得到正方形折叠一角后的效果。值得一提的是，因为其中的长方形和正方形左下角不容易对齐，笔者实际制作时发现拆分后得到的结果如右图所示，多了一个很小的尖角，接下来我们只要将该图复制到画笔里用橡皮擦工具擦去多余部分即可。

我们绘制折痕的时候，尽量不要用软件自带的虚线和点划线工具，而应该手动逐段绘制。从下面的图示中可以看出，右边逐段绘制的效果更为清晰，特别是在课堂上演示的时候。

Powerpoint 和 WPS 软件虽然使用方便，但是对于数学色彩较浓的图示还是力不从心。如果老师们能熟练使用几何画板、AutoCAD 等软件，绘制效果更好。

四、参考书

网上有不少折纸方面的视频，参考书也很多，难以一一列举，下面这几种是我看过而且觉得不错的，第一二本偏于制作，第三本偏于“玩”，第四本有点理论：

以上就是笔者实践和思考的结果，希望得到专家的指导，也愿意和同行们进一步深入交流。