一、空间曲线的方程
1、空间曲线的一般方程
空间曲线总可以看成是某两个曲面的交线．设两曲面的方程为
则两个曲面的交线Γ可以用方程组描述为
该方程组也称为空间曲线 的一般方程．
【注1】空间曲线的一般方程不唯一。可以用任意两个过空间曲线的曲面的方程构成的方程组来描述；并且空间曲线也位于描述空间曲线的一般方程中两个方程的线性组合构成的方程
（其中 为不全为零的实数）描述的曲面图形上。这样就可以用相对简单的曲面方程来描述曲线。
【注2】空间曲线的一般方程通过方程组变换，或者直接引入相关参数，可以将其转换为参数方程；同样，参数方程也可以通过两两消去参数，获得空间曲线的一般方程描述。
【注3】由于空间曲线的参数方程只包含有一个参数，其描述形式简单，所以解决与空间曲线的相关问题一般都将空间曲线用参数方程来描述。
2、空间曲线的参数方程
一般地，空间运动的质点的轨迹对应一条空间曲线。曲线 上动点 的坐标 可以用一个参数 的函数表示为
【注】空间曲线参数方程参数的意义可以为运动时间，也可以是转动角度、弧度，或者为坐标变量等。
二、空间曲线的投影
1、一般方程描述的空间曲线关于坐标面的投影柱面与投影线
设 是一条空间曲线， 是一个平面，曲线上每一点在平面上有一个垂足，曲线上的所有点在平面上的垂足所构成的曲线叫做曲线在平面上的投影曲线，简称投影，平面也称为投影面。
过曲线 上的每一点，都有平面 的一条垂线，这些垂线构成一个柱面，并且把这样的柱面称为曲线关于平面的投影柱面。空间曲线在平面上的投影曲线就是投影柱面与平面的交线。
设空间曲线Γ的一般方程为
则 关于 、 、 坐标面的投影柱面方程可以通过方程组分别消去 、 、 变量得到。假设方程组消去变量 、 、 后得到的方程分别描述为
则以上三个方程分别描述了空间曲线关于坐标面 、 、 的投影柱面；并且空间曲线在三个坐标面上的投影曲线分别为
2、一般方程描述的空间曲线在指定平面上的投影曲线求解思路
设空间曲线 的一般方程为
投影面 的方程为
则空间曲线 在平面 的投影柱面方程可以通过构建一般曲面方程的方式得到，其步骤如下：
(1)在投影柱面上任取一点 ；
(2)由于投影柱面是由垂直于投影面，并经过空间曲线的直线构成，所以我们设经过点 的，方向向量取为平面法向量 的直线方程为
由于该直线必定与曲线 相交，所以存在 ，使得
满足曲线 的方程，即有
(3)利用上述方程组消去参数 ，并化简，假设得到的方程为 ，则该方程就为曲线 关于平面 的投影柱面方程；而 在平面 上的投影曲线方程则可以用投影柱面方程与投影面方程构成的方程组来描述，即
3、参数方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程
设空间曲线Γ的参数方程为
则 关于 、 、 坐标面的投影柱面方程分别为 、 、 两个变量所对应的参数表达式描述的空间曲面；而投影曲线则只要令曲线 的参数方程的 分量分别为零即可。即空间曲线 关于 、 、 坐标面的投影柱面方程与投影曲线方程分别为：
关于 投影柱面：
投影曲线：
关于 投影柱面：
投影曲线：
关于 投影柱面：
投影曲线：
【注1】空间曲面或立体图形在坐标面上的投影为空间曲面或围成立体的所有曲面上的点在坐标面上的投影点构成的平面区域，可以用投影区域的边界曲线为准线，垂直于坐标面的直线为母线形成的投影柱面与坐标面方程来描述。
【注2】空间直角坐标系中立体图形简图的绘制方法：在掌握基本立体几何形状，比如长方体、球体、柱体、平面、直线绘制的基础上，一般通过绘制一些关键性的曲线，比如围成立体图形的曲面的交线，平行于坐标面的平面截取空间图形所得的交线等，来描述图形的大致轮廓，帮助我们更好地理解和解决问题。
三、两类曲线方程相互转换的思路
将空间曲线的参数方程转换为一般方程描述比较简单，由三个参数表达式两两消去参数，则可以得到两个不包含参数的等式，它们一起构成空间曲线的一般方程。
将空间曲线的一般方程转换为参数方程描述的基本思路为：
(1)如果空间曲线的一般方程的两个方程都是三个变量的方程，则通过消元，获得一个二元方程表达式，然后借助于二元方程的参数方程，写出两个变量的参数表达式，并代入其中一个方程解出另一变量关于参数的表达式。
(2)如果空间曲线的一般方程中，有一个方程只有两个变量，则可以直接通过引入参数，写出两个变量的参数方程，然后利用另外一个方程解出另一变量的参数表达式。也可以利用两个变量的表达式用一个变量表示另外一个变量代入另一方程，由变换后的方程写出参数方程后得到参数方程。
(3)如果空间曲线的一般方程中有一个方程为单独变量等于常数的表达式时，则直接将它代入另一个方程，由另一个方程写出对应的参数方程表达式，并联合这个表达式即可得所求空间曲线的参数方程。
(4)如果有两个方程都是单独变量等于常数的表达式，则直接令另一变量为参数即可。
四、空间曲线绕任意直线旋转所得旋转曲面方程
设旋转轴的直线 方程与母线 的曲线方程分别为
求旋转曲面方程的步骤可以描述为如下两步：
(1)写出经过母线上任意点 绕轴旋转的圆的方程，即
其中 为过点 与轴垂直的平面与轴直线的交点，即圆心坐标．
(2)由 的满足的母线 的曲线方程以及（1）中得到的方程组，消去 即得所求旋转曲面的方程．如果母线 为关于参数 的方程，则点坐标 为参数 的表达式，则圆心坐标 也为参数 的表达式，因此，（1）中的方程组只包含有参数 ，因此直接消去参数 就可以得到旋转曲面的方程．
五、平面曲线、空间曲面及所围区域草图绘制
主要就是绘制区域的边界曲线，或边界曲面：
(1) 平面区域的边界曲线图形的绘制，一般只需要绘制一些关键点，比如与坐标轴的交点以及与相关曲线的交点，然后结合它的定义域，曲线的特征及曲线的连续性，就可以描述出边界曲线图形，得到曲线围成的平面区域。值得注意的是，为了图形的直观性，一般对于这些描绘的关键点的坐标，尤其是与坐标轴的交点坐标最好能在图形中标示。
(2) 空间立体图形区域草图的绘制，在掌握基本立体几何形状，比如长方体、球体、柱体、平面、直线这些图的轮廓图绘制的基础上，一般通过判断围成立体区域的边界曲面图形的特征，借助中学学的斜二测画法，绘制一些关键性的曲线，比如围成立体图形的曲面与坐标面的交线，曲面之间的交线，以及平行于坐标面的平面截取空间图形所得的交线等，来描述图形的大致轮廓。
【注1】对于由不等式描述的区域，它们边界曲线或曲面由不等式取等号的方程来确定。对于绘制的图形侧的确定，则通过取特殊点是否满足不等式来确定。
【注2】空间曲面或立体图形在坐标面上的投影，为空间曲面或围成立体的所有曲面上的点，在坐标面上的投影点构成的平面区域，可以用投影区域的边界曲线为准线，垂直于坐标面的直线为母线形成的投影柱面与坐标面方程来描述。对于其他方式的投影区域求解可以参考这种方式。
【注3】如果围成立体的两个曲面在该坐标面上的投影完全重叠，则立体图形在该坐标面上投影区域的边界曲线即为两曲面的交线在坐标面上的投影曲线；如果投影区域的整个或者部分完全由其中的单个曲面确定，则对于这部分投影区域的边界曲线方程可以描述为令曲面方程的关于坐标面对应变量之外的另一变量等于零得到的方程与坐标面方程构成的方程组．
图形绘制方法参见推文：
在线计算专题(06)：绘制函数、方程与不等式描述的平面、空间图形
空间图形篇： 还有你不会绘制的数学函数表达式图形吗？
平面图形篇： 还有你不会绘制的数学函数表达式图形吗？
典型习题：平面曲线、空间曲面及所围区域草图绘制
参考课件
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