基于熵函数与离差最大化的客观赋权法研究

陈耀林 肖汉斌 熊楚宸
武汉理工大学物流工程学院 武汉 430063

摘 要：针对大型机械设备安全评价中评价指标客观权重随加权方法的选择而变化的问题，提出一种基于熵和评价对象离差最大化的客观综合赋权模型。该模型将不同客观赋权法得到的权重向量视为指标真实客观权重向量的离散随机变量，将权重系数定义为权重系数的概率函数的随机变量，考虑不同客观加权方法得到的权向量的不确定性和实际目标权向量的一致性要求，基于熵函数获取权系数的约束方程；针对权重与对象评价值的关系，将评价对象离差的最大化作为上述权重系数约束函数的补充，构建客观综合赋权模型，使获取的指标客观权重仅与其携带的原始信息相关，极大的提高了大型机械设备安全评价的客观性。算例验证了该模型的合理性和有效性。

关键词：安全评价；熵函数；离差；客观权重；Gamultiobj 函数

中图分类号：U691+.5: X820.4 文献标识码：A 文章编号：1001-0785（2020）07-0075-05

0 引言
大型机械设备安全性评价的研究主要包括指标体系、指标权重以及安全评价方法。其中，指标权重反映评价指标的相对重要程度，是多属性综合评价中的一个重要研究内容。指标权重的确定方法分为三类：主观赋权法、客观赋权法及组合赋权法。其中，客观赋权法包括信息熵[1]、变异系数法[2]、主成分分析法[3]、粗糙集理论法[2]、灰关联分析赋权法[4] 等。客观权重的确定完全依赖于数学理论与评价指标的原始信息，因此不同的确定方法会对客观权重的取值产生较大影响，而评价指标的真实客观权重应当只取决于指标的原始信息。针对这一问题，本文提出了一种新的客观综合赋权法，将不同客观赋权法得出的权向量视为指标真实客观权向量的一个离散型随机变量，定义权系数为随机变量的概率函数。考虑不同客观赋权法所得指标权向量的不确定性以及与真实客观权向量之间的一致性要求[5]，在待评价对象总离差最大化基础上[6]，构建求解权系数的约束函数，通过基于遗传算法的多目标优化算法获取权系数非劣解集，并利用平均差异度搜寻最佳权系数解[5]，从而确定指标的真实客观权向量。该方法大大提高了安全评价指标客观权重的准确性，有效的降低了由于赋权方法的选择对指标客观权重的影响，对提高大型机械设备安全评价的客观性具有重要意义。

1 客观综合赋权模型的构建
假设待评价对象S 有m 个子评价层，该对象的行为特征序列为M ＝ [M1，M2，…，Mm]，对于每一个子评价层Mi 有n 个评价指标，该子评价层的行为特征序列为Mi ＝ [x1，x2，…，xn]，R ＝ [rij]m×n 为决策矩阵，表示第i 个子评价层Mi 对应第j 个评价指标xj 经过规范化处理的评价值（rij ∈ [0，1]，i，j）。

子评价层的指标客观权向量Wi ＝ [w1，w2，…，wn]T,wj 对应于指标xj。若指标的真实客观权向量已知，则决策者对待评价对象自评价层Mi 的综合评价值可简化为

评价者通过Ei 的大小判断待评价对象的状态，经过规范化处理指标评价值后，通常Ei 越大状态越好。不同客观赋权法所得的客观权向量会对评价结果产生较大影响，客观综合赋权法的目的是通过不同客观赋权法所得权向量寻找评价指标原始信息所携带的真实权向量。假设选用s 种客观赋权法，记第k 种方法所得权向量为W(k) ＝ [w1(k)，w2(k)…，w3(k)]T，指标真实客观权向量为

式中：λk 为权系数，如何合理确定λk 的取值是客观综合赋权法所研究的关键。

指标的真实客观权向量存在但无法直接获取，若将不同客观赋权法所得权向量视为真实客观权向量在空间中的离散型随机表现形式，这些表现形式具有相互独立性，共同构成客观权向量空间，权系数即为这些随即表现形式在空间中出现的概率函数。面对权向量空间中不同赋权法所得客观权向量的不确定性以及综合权重与不同客观权重的联系，文献[5] 引入了熵函数进行测度。针对权向量空间中不同赋权结果的不确定性，若无理由和标准确信一个赋权法比另一个赋权法得到的权向量更有可能不发生或发生，则认为这两个权向量出现的概率是等可能的。依据Jaynes 的极大熵原理[7]，权系数的选择应该使权向量空间的不确定性最大，可定义约束函数P1 为

应用不同的数学理论，获取的客观权向量的侧重也有所不同。考虑综合权重与不同客观权重的联系，客观综合赋权时应尽量包含指标原始数据中不同的信息，使确定的综合客观权重与真实客观权重一致。基于概率测度导出的Kullback 相对熵原理，表示两个概率分布之间的“距离”，常用来衡量离散分布的偏差，或称符合程度[8]。因此，将客观综合赋权法所得权向量与各赋权法
所得权向量同样视为独立的离散分布。权系数的确定应当使综合客观权向量与不同客观赋权法所得客观权向量之间的相对熵尽可能的小，使得综合客观权向量隐含的信息能够尽可能与真实客观权向量保持一致。可定义约束函数P2 为

但上述约束函数忽视了权重对于综合评价值的影响。由式（1）可知，如果xj 指标对于待评价对象构件的状态起重要作用，能使待评价对象的评价值产生较大差异，应给予其较大的权重比；相反，则可使其权重比为0。真实客观权重的选择应使较重要的指标所占权重比较大，故引入样本总离差[6]。

假设以指标xj 为主体，定义待评价对象的子评价层Mi 与其余所有子评价层的离差为

定义以指标xj 为主体，待评价对象的所有子评价层与其余自评价层的总离差为

所有待评价指标对所有子评价层的总离差应达到最大，可定义约束函数P3 为

考虑不同客观赋权法所得指标权向量的不确定性以及与真实客观权向量之间的一致性要求，在待评价对象总离差最大化基础上，将约束函数P1、P3 转化为最小化目标，联立约束函数P1 、P2 、P3 确定客观综合赋权模型为

2 客观综合赋权模型求解
2.1 权系数非劣解集
客观综合赋权模型是一个典型的多目标优化问题[9]，目标函数较为复杂，并且难以追寻最优解，故选用Gamultiobj 函数获取权系数的Pareto 最优集。Gamultiobj 函数是一种基于NSGA- Ⅱ的改进多目标优化算法，该算法采用锦标赛算法对算法的个体从序值的大小和拥挤度进行选择，对种群中的两个个体进行比较，从而选择符合较好约束的个体，获取非劣解集[10]。其组织结构如图１。下面给出Gamultiobj 函数一些基本定义[11]。
1）支配与非劣
在多目标优化问题中，如果个体p 至少有一个目标比个体q 的好，而且个体p 的所有目标都不比个体q 的差，可定义：个体p 支配个体q，或称p 非劣于个体q。
2）序值与前端
若p 支配q，则p 的序值比q 低。如果p、q 互不支配，则p 和q 有相同的序值。序值为１的个体属于第一前端，序值为２的个体属于第二前端，依次类推。在当前种群中，第一前端是完全不受支配的，第二前端受第一前端中个体的支配。因此通过排序可将种群中的个体分到不同的前端。
3）拥挤度
拥挤度也称作拥挤距离，是用来计算某前端中的某个体与该前端中其他个体之前的距离，用以表征个体间的拥挤程度。拥挤度愈大，个体间愈不拥挤，种群的多样性愈好。只有处于同一前端的个体间才需计算拥挤距离，不同前端之间的个体计算拥挤距离是没有意义的。
4）最优前端个体系数
最优前端个体系数定义为最优前端中的个体在种群中所占的比例，其取值在0 ～ 1。

图1 Gamultiobj 函数组织结构

2.2 最优解的确定与方法检验
针对权系数的非劣解集寻优及后续的方法对比、检验的需要，引入统计学中的离差概念。离差是表征差异程度的重要指标，通过计算组合权重与其余单一赋权结果的平均差异度，评价组合权重的合理性[12]。平均差异度公式为

式中：wq j* 表示第q 种组合赋权法计算所得的第j个指标的权重；wj(k) 表示第k 种单一赋权法计算所得的第j 个指标的权重。

D(wq*) 越小表明wq* 与其余单一赋权法所得权重加权结果偏差越小，也越合理。

3 实例验证
为验证客观综合赋权法的可行性，以市场机器人选择问题为例[13]，与其他组合赋权方法进行比较。现有4个机器人待选方案Mi（i ＝ 1，2，3，4）, 评价决策指标为x1、x2、x3、x4。归一化决策矩阵如表1 所示。三个单一赋权结果见表2。

采用Gamultiobj 函数对权系数进行求解，参数设置如下：最优前端个体系数为0.3，种群数目为500，迭代次数为500，停滞代数为1000，最小误差为1×10-60，所得Pareto Front 非劣解集的个数为150 个，解集的目标函数值三维图如图2 所示，权系数解分布均匀，鲁棒性良好。

图2 Pareto Front 非劣解集

对150 个非劣解用平均差异度函数进行对比寻优，权系数Pareto 非劣解的平均差异度如图3 所示，最低平均差异度＝ 0.106 48，权系数解λk ＝（0.339 4，0.342 8，0.316 8）。客观综合赋权法与其余三种组合赋权法的结果均列于表3，不同组合赋权法所得方案的综合评价值和排序结果见表4。由表4 可知，四种组合赋权法所得的方案排序完全一致，验证了客观综合赋权法的合理性。

图3 权系数Pareto 非劣解的平均差异度

四种组合赋权方法的平均差异度如表5 所示，客观综合赋权法所谓客观权重的平均差异度最小，验证了该方法的有效性。

4 结语
1）合理确定权重的目的在于确定指标对综合评价值的影响，本文利用待评价对象总离差最大化思想将基于熵函数的组合赋权法进行优化，补充权重对综合评价值的影响，建立客观综合赋权模型。通过基于NSGA- Ⅱ的改进多目标优化算法Gamultiobj 函数对模型进行求解，获取权系数的非劣解集，避免丢失最优解并利用平均差异度进行比较确定最优解。
2）通过具体算例对客观综合赋权法与数学规划法、区间估计法、粒子群法三种组合赋权法所得结果进行对比，验证了客观综合赋权法计算结果的合理性，并对四种方法的平均差异度进行比较，确定了客观综合赋权法的有效性。
3）客观综合赋权模型有效的降低了赋权方法的选择对指标客观权重造成的影响，对提高大型机械设备安全评价的客观性具有重要意义。

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