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第34讲：微分方程的基本概念
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例题与练习题
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练习1：判断函数 是否为微分方程 的通解.
练习2：写出以下列函数为通解的微分方程，其中 , , 为任意常数：
(2) .
练习3：已知曲线上点 处的法线与 轴交点为 且线段 被 轴平分，且该曲线经过 点，求该曲线对应的曲线方程.
练习4：有高为 的半球容器，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面面积为 ，开始时容器盛满水，问多久水会流完？已知水高度为 的小孔水流出的速度为 .
练习5：（导弹跟踪飞机问题） 设在初始时刻 时导弹位于坐标原点 ，飞机位于点 ，飞机沿着平行于 轴方向以常速 飞行．导弹在时刻 的位置为点 ，且速度为常值 ．导弹在飞行过程中，按照制导系统始终指向飞机．试建立导弹飞行的微分方程模型．
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：判断函数 是否为微分方程 的通解.
【参考解答】：对函数求一阶、二阶导数，得
从而可得 恒成立，故函数为微分方程的解. 又因为
故任意常数 相互独立，故为通解.
练习2：写出以下列函数为通解的微分方程，其中 , , 为任意常数：
(1) ；
(2) .
【参考解答】：(1)由于 仅含一个任意常数，故所求方程为一阶微分方程．由于 ，由两个方程消去任意常数 ，得
即所求微分方程为
(2)由于通解表达式中含有两个相互独立的任意常数，故方程为二阶微分方程，又由于
与解函数联立，消去任意常数 ，得到所求的微分方程
练习3：已知曲线上点 处的法线与 轴交点为 且线段 被 轴平分，且该曲线经过 点，求该曲线对应的曲线方程.
【参考解答】：点 处的法线方程为
令 ，得 点的横坐标 ，即
改写等式，得
代入初值 ，得曲线方程为
练习4：有高为 的半球容器，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面面积为 ，开始时容器盛满水，问多久水会流完？已知水高度为 的小孔水流出的速度为 .
【参考解答】：以小孔位置为原点，通过球心向上的直线为 轴，水平为 轴. 设 时刻水面高度为 ，横截面圆的半径为 ，则经过 时间后，高度变成了 ，这时间段内减少的水量近似为
由于
所以有
取极限，整理得
分离变量，两边各自积分
得
由 时， ，得 . 从而当 时，有
即 (s).
练习5：（导弹跟踪飞机问题） 设在初始时刻 时导弹位于坐标原点 ，飞机位于点 ，飞机沿着平行于 轴方向以常速 飞行．导弹在时刻 的位置为点 ，且速度为常值 ．导弹在飞行过程中，按照制导系统始终指向飞机．试建立导弹飞行的微分方程模型．
【参考解答】：设导弹的运行轨迹曲线为 . 从时刻 开始，设经过时间 后，飞机到达 点，并设导弹达到 点，则有 . 如图.
因此导弹在该点的运动方向即为运动轨迹在该点的切线方向，因此有
并且导弹经过的轨迹曲线的长度可以利用弧微分公式
近似曲线段利用定积分计算得到长度为
由上面两式消去时间 ，得
移项、改写，得
对等式两端求导，得
并且 , . 整理即得导弹飞行的微分方程模型为
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