塔式起重机起吊过程中起重臂振动响应分析

张 恩 董明晓 韩松君 梁立为 杨传宁
山东建筑大学机电工程学院 济南 250101

摘 要：塔式起重机在起升时，货物的起升惯性力是导致起重臂振动的主要原因，此振动是起重机疲劳破坏的主要原因。因此，研究塔式起重机起升机构对起重臂的振动影响规律具有重要意义。文中分析了塔式起重机起吊货物的特征，将其简化为悬臂梁，再基于Euler-Bernoulli 梁理论建立移动质量—悬臂梁系统振动微分方程，最后仿真分析了起升运动和起重量对起重臂振动的影响规律。仿真结果表明：加速提升货物时，加速度的增大导致起重臂振动的挠度和幅值增大；起升位置距离起重臂根部越远，起重臂振动挠度、幅值和周期越大；起重量越大，起重臂振动挠度、幅值和周期越大。

关键词：塔式起重机；起升运动；起重量；振动响应；仿真

中图分类号：TH213.3 文献标识码：A 文章编号：1001-0785（2018）11-0123-04

0 引言
随着建筑行业的快速发展，塔式起重机（以下简称塔机）的作用越来越突出，塔机起升机构的合理使用将直接影响到其工作性能。目前，国内外学者对起升机构对起重机结构振动的影响规律进行了大量研究。MSPark[1] 基于具有高速提升机构的桥式起重机提出了一种自适应的防摇控制法；赵俊杰[2] 建立了桥式起重机起升系统的动力学微分方程，利用Matlab 研究分析了货物起升、下降制动过程中的起升系统动力学特性；董杰[3]建立了门式起重机有限元模型，并利用瞬态动力学的方法对起重机在起升过程中的动态特性进行分析；强宝民[4] 以桥式起重机为研究对象，分析了起重机起吊货物的瞬态工况。本文以小起升高度或附着式塔机为研究对象，将塔机简化为悬臂梁，吊绳等效为刚性绳，分析货物离地起升过程中塔机起重臂的振动特性。

1 移动质量—悬臂梁系统振动微分方程
由于起升机构引起起重臂振动幅度相比于塔身振动幅度较大，且当货物离地起升过程中，与货物的质量相比，吊绳的质量可以忽略不计，故本文忽略塔身的变形，将起重机等效为悬臂梁，变幅小车等效为质点，吊钩和货物等效为移动质量，将吊绳等效为刚性无质量吊绳[5]，从而构成移动质量—悬臂梁系统，其示意图如图1 所示。以悬臂梁轴线方向为x 轴，以垂直于悬臂梁轴线的方向为y 轴，以悬臂梁的固定端点为坐标原点，建立xoy 直角坐标系，m a 为质点的质量，m b 为移动质量的质量，v为移动质量的速度，a 为移动质量的加速度，x a 为质点在悬臂梁上的位置，h 为悬臂梁的垂直高度，L 为悬臂梁的长度，E 为悬臂梁的弹性模量，I 为悬臂梁的截面惯性矩，m 为悬臂梁的单位长度质量，在t 时刻悬臂梁上x 处的挠度为y （x ，t ）。

图1 移动质量—悬臂梁系统示意图

基于Euler-Bernoulli 梁理论，不计梁的横向剪切变形影响和阻尼作用，在外力F （x ，t ）作用下，梁的振动微分方程[6] 为

由于移动质量在垂直方向上运动的同时随悬臂梁上下振动，故在动力学方程中应考虑移动质量的惯性力。因此，在任意时刻t ，作用在悬臂梁上的力F （x ，t ）为

式中：ÿ（x ，t ）为y（x ，t ）对时间t 的偏导数，g 为重力加速度，δ 为Dirac 函数。

将式（2）代入式（1）中得

由于质点在悬臂梁水平方向上的位置固定不变，且移动质量只在垂直方向上运动，所以质点和移动质量的振动加速度为

将式（4）带入式（3）中得

由于悬臂梁的振动挠度y （x ，t ）对时间和空间是分离的，所以对式（5）采用分离变量法求解[7]，令

式中：φi（t ）为悬臂梁第i 阶振型函数，qi（t）为悬臂梁第i 阶模态坐标函数。将式（6）带入式（5）中得

在式（7）中，用撇表示φi（x ）对x 求导，用点表示qi（t ）对时间t 求导。式（7）两边同时乘以φj（x ）（j ＝ 1，2，3，…，n ），对式（7）在区间[0 L ] 上对x 进行积分。根据振型函数的正交性，将其化简为

式（8）为移动质量—悬臂梁系统的振动微分方程，将式（8）写成矩阵的形式，即

式中： M ＝ diag｛Mj｝+（m a+m b）diag｛φj （x a）｝[φi （x a）]为质量矩阵，K ＝ diag｛Mjωj2｝为刚度矩阵，F ＝ [（m a+m b）g -m ba ]｛φ 1（x a），φ 2（x a），φ 3（x a），…，φn（x a）｝T 为广义外力，｛q （t ）｝＝｛q 1，q 2，…，qn｝T 为模态坐标，其中，利用Matlab 计算出式（9）中的每一阶振动模态坐标qi（t ），将求得的每一阶模态坐标qi（t ）和每一阶悬臂梁振型函数φi（x ）代入式（6）中，得到任意时刻悬臂梁上任意一点的挠度y （x ，t ）。

为悬臂梁的振型函数矩阵。

2 起升运动对起重臂的振动影响规律
为了研究塔机运行机构的动力学特性和整机结构的振动特性，将TCICES1.0 型塔机以1:6 的比例设计制造出塔机实验台。实验台采用Q345 号钢制造，弹性模量为2×1011 Pa，惯性矩为8.776×10-6 m4，起重臂长度为3.6m，单位长度质量为11 kg/m，起升高度为2.3 m，货物和吊钩总质量为25 kg，小车质量为5 kg。

2.1 起升加速度对起重臂的振动影响
塔机提升货物时，货物的起升加速度是引起起重臂振动的主要原因。因此，为了分析起升加速度对起重臂振动的影响规律，根据式（9）仿真计算当起升位置x a为3 m，分别以0.1 m/s2、0.5 m/s2、1 m/s2 的起升加速度先加速后减速提升货物时，起重臂端点的振动变化规律，起重臂端点的振动曲线如图2 所示。由图2 可以看出，加速提升货物时，起重臂端点振动的挠度和幅值随加速度的增加而增加，振动周期保持不变。所以，在施工作业过程中，控制起升运动的加速度可减小起重臂振动的幅值。

（a）提升加速度为0.1 m/s2 （b）提升加速度为0.5 m/s2 （c）提升加速度为1 m/s2
图2 在不同提升加速度状态下起重臂的振动曲线图

2.2 起升位置对起重臂的振动影响
为了分析起升位置对起重臂的振动影响规律，根据式（9）分别仿真计算在距离起重臂臂根1 m、2 m、3m 处以1 m/s2 的加速度先加速后减速提升货物时，起重臂端点的振动变化规律，仿真曲线如图3 所示。由此可以看出，当加速提升货物时，起升位置距离起重臂臂根处越远，振动挠度、幅值和周期越大。经分析可知，选择合适的起升位置既能减缓起重臂的振动，还可改变起重臂的振动频率，避免起重臂结构和货物产生共振现象。

（a）起升位置x a 为1 m （b）起升位置x a 为2 m （c）起升位置x a 为3 m
图3 起升位置x a 对起重臂的振动影响规律

（a）起重量为10 kg （b）起重量为20 kg （c）起重量为30 kg
图4 在不同起重量的情况下起重臂振动曲线图

2.3 起重量对起重臂的振动影响规律
为了分析起升过程中起重量对起重臂的振动影响规律，根据式（9）仿真计算在距离起重臂臂根3 m 处以1 m/s2 的加速度先加速后减速分别提升10 kg、20 kg 和25 kg 的货物，起重臂端点的振动特性，振动曲线如图4 所示。通过分析可知，起重臂端点的振动挠度和振动幅值以及振动周期都会随起重量的增加而增加。

3 结论
本文基于Euler-Bernoulli 梁理论建立移动质量—悬臂梁系统振动微分方程，分析了货物离地起升过程中起重臂的振动特性。仿真结果表明：货物加速提升时，起重臂端点振动的挠度和幅值随加速度的增加而增加，振动周期保持不变；起升位置距离起重臂臂根处越远，起重臂端点振动挠度、幅值和周期越大；起重臂端点的振动挠度和振动幅值以及振动周期随起重量的增加而增加。

参考文献
[1] Park M S，Chwa D，Eom M.Adaptive Sliding-Mode Antisway Control of Uncertain Overhead Cranes With High-Speed Hoisting Motion[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2014，22(5)：1 262-1 271.
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