各位朋友，大家好！前几天，数学世界发表了几篇关于中小学教育的小文章，今天将继续为大家分享初中数学中比较有代表性的题目，希望通过笔者的分析与讲解，能够为广大初中生学习数学提供一些帮助！接下来，数学世界分享一道与圆有关的综合题，涉及了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识。
一直以来，数学世界都是精心挑选一些数学题分享给大家，希望由此激发学生们对数学这门课程的学习兴趣，并能给广大学生的学习提供一点微小帮助！下面，数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学综合题）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD=∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．
（1）求证：BP是⊙O的切线；
（2）如果OA=5，AM=4，求PN的长．
知识回顾
垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
圆周角定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
分析：（1）证明切线常用的方法是“连半径，证垂直”，可以连接BC，OB，若能够证明OB⊥PB即可解决问题．
（2）根据直角三角形的勾股定理求出OM，利用相似三角形△AOM∽△POA求出OP，再利用相似三角形△AOM∽△NOP求出PN即可．
请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！
解答：（以下过程可以部分调整，并且还有其他解题方法）
（1）证明：如图，连接BC，OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD=90°，
∵OC=OB，
∴∠C=∠CBO，
∵∠C=∠BAD，（圆周角定理）
∠PBD=∠DAB，
∴∠CBO=∠PBD，
∵∠OBP=∠OBD+∠PBD，
∠CBD=∠OBD+∠CBO，
∴∠OBP=∠CBD=90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）解：∵CD⊥AB，CD是直径，
∴AM=BM，
∴PA=PB，
又∵OA=OB，OP=OP，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AMO=90°，OA=5，AM=4，
∴OM=3，（勾股定理步骤省略）
∵∠AOM=∠AOP，∠OAP=∠AMO，
∴△AOM∽△POA，
∴OA/OP=OM/OA，
∴5/OP=3/5，
∴OP=25/3，
∵PN⊥PC，
∴∠NPO=∠AMO=90°，
又∵∠MOA=∠PON，
∴△AOM∽△NOP，
∴AM/PN=OM/OP，
∴4/PN=3/（25/3），
∴PN=100/9．
（完毕）
这道题属于圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形来解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。
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