集合论的创立，为什么说康托尔知道聚宝盆的秘密？

01 故事里的聚宝盆

亲爱的朋友们，双十一第一波大家剁过得怎么样了呀？

每年一到这个时候，看着自己越来越扁的钱包，总有人忍不住感叹：要是有聚宝盆就好了。只要有了聚宝盆，哪怕你浑身上下只有一块钱，也能马上逆袭。

周人龙在《挑灯集异》里写了这样一段故事：

沈万三的妻子用聚宝盆当只是普通的小盆，所以用它来洗手，一不小心把一根银钗掉进了盆里，结果盆中很快就堆满了银钗，数都数不清。在故事中，这个能够进行无限复制的小盆让沈万三成了「财雄天下」的传奇人物。

同理，一块钱放进聚宝盆就会变成千千万万个数不清的一块钱，拥有聚宝盆的人都不应该叫亿万富翁/婆，应该叫无穷富翁/婆，因为他/她可以拥有无穷多个一块钱。

更值得细品的是，聚宝盆这个东西，不容易引发遗产纠纷。财产无论多丰厚，只要能点出数来，都是越分越少的。古往今来，大族分家闹出的狗血不计其数。

但是聚宝盆不一样，它带来的财富是无穷的。假设一对夫妻靠聚宝盆享受了一辈子，留下两个孩子，那他们俩根本不需要打架争遗产，就算两人共享聚宝盆，他们也可以个个都和父母一样有钱。

而且，关于这一点，我们还可以做出严丝合缝的数学证明。

假设聚宝盆里有无穷多个「一块钱」。如果我们给盆里所有的「一块钱」编号，再把带有奇数标号的钞票和带有偶数编号的钞票分开，这样盆里的钱就自然而然地分成了相等的两份。

我们把初始状态的聚宝盆当作集合G，把按照奇偶编号分出来的两份钱看作集合G奇和集合G偶。

接下来我们做这样一件事，让集合G中的钱和集合G奇中的钱一对一组队 ——

这样一直组下去，我们会发现，G中的每一个成员都可以在G奇中找到“伙伴”。这就意味着，G中有多少个「一块钱」，G奇中就有多少个「一块钱」。从财富的角度看，G和G奇是一回事，同理，G偶包含的财富也应该和G一样。

这个结论看起来好像也没什么，但不要忘了，G奇和G偶都只是G的一部分，但它们又都和G相等——这难道不奇怪吗？

当然，这神话故事里的聚宝盆，是肯定不存在的，只要脑洞够大，这事儿就不奇怪了。

不过我们在这里要说清一点，虽然聚宝盆是虚构的，但这种「一一对应」却是正儿八经的数学证明，它来自集合论和超穷数理论之父，德国数学家康托尔。

02 无穷与无穷

在数学中，无穷本身就是一个重要的研究对象。

也许有人会说，无穷就是无穷呗，数不出来的数也要让数学家去研究吗？事实上，在康托尔之前，主流数学界对无穷的态度差不多就是这样的。

就连高斯也曾表过态：“我反对把无穷量当作实体来用，数学中从来不允许这样做。无穷仅仅是一个说法而已。”

但康托尔越研究越起劲，他发现了另一件有趣的事——无穷不是只有一种，无穷和无穷之间也是有大小之分的。

让我们回到聚宝盆的例子。假设有两个聚宝盆，一个是普通聚宝盆，另一个是高级聚宝盆，后者的无限复制功能比前者要强——这有可能吗？

有。我们依然通过编号的方式来解释这件事。如果每一个正整数都可以对应一号聚宝盆G1里的一块钱，而每一个0和1之间的实数都可以对应二号聚宝盆G2里的一块钱，那么，就算两个聚宝盆里的钱都是无穷多的，我们也可以确定，G2里的钱就比G1里的钱更多。

这是因为，G1和G2无法像G和G奇一样，完成一一对应。关于这一点，康托尔也提出了证明。

假设G1和G2中的钞票编号满足一一对应关系，就像这样 ——

我们从G2这个系列的编号中，取一串 “对角线” 上的数字，就像这样——

再给这串数字的分别加1，那么 1,4,6,2… 就变成了 2,5,7,3…，接下来我们再用这串数字组成一个新的G2编号，也就是0.2573……号。

重点来了：在已经和G1编号组好对的所有G2编号里，你是无法找到这个0.2573……号的，因为它小数点后的第n位永远比第n个配好对的G2编号要大1。也就是说，0.2573……号钞票是多出来的钞票，仔细想想我们就会知道，这样的钞票在G2中不止一张，G2里的钱就比G1里的钱多多了。

经过上文中的两次证明，康托尔提出了两种无穷，小一点的记作0，比0稍大的记作1。它们是康托尔无穷王国中较早现身的两名“将领”，在此之后，康托尔的研究越发深入，直至集合论和超穷数理论建立起来。

03 康托尔的悲剧

能够比大小，却又会出现部分等于整体这样奇怪的情况，无穷实在是一种非常朋克的东西，沾上点毛就可以和薛定谔的猫比酷了。

但是，和量子力学一样，针对无穷的研究因为太过特别，初期难免遭遇非议。康托尔也遭到了很多数学名家的反对，其中包括大名鼎鼎的庞加莱，还有康托尔的老师克罗内克。

据说，克罗内克曾想方设法排挤康托尔，让他无法进入柏林学术圈。传言也许难免有些夸张，但有迹可循的是，克罗内克曾经阻挠过《克雷尔数学杂志》（Crelle’s Journal）发表康托尔的论文。

论文风波发生于1877年，当时的克罗内克是《克雷尔数学杂志》的编辑，并且以柏林科学院院士的身份为柏林大学授课。而三十出头的康托尔在哈雷大学就职，是一枚不上不下的“青椒”，同克罗内克交恶无疑让他承受了巨大的压力。

1878年，由于高斯关门弟子近代抽象数学先驱戴德金的出面协调，《克雷尔数学杂志》最终发表了这篇关于无穷集合的早期论文，但从此之后康托尔再也没向这家杂志社投过稿。

从1879年到1884年，康托尔在《数学年刊》（Mathematische Annalen）上发表了六篇介绍集合论的系列论文，却迎来了同行的抨击和质疑。年复一年，他的处境总是不见好转，似乎还越来越糟。

1880年，因为不理解康托尔在学术上的坚持，多年的好友赫尔曼·施瓦茨与他不欢而散。1881年，支持他的老领导海因里希·海涅去世。1882年，他和戴德金的通信也中断了。外界友善的声音依然不多，他的研究又不断遇到棘手的问题，重重压力之下，康托尔的精神出现了问题。

1884年，康托尔第一次发作，从此以后他的情况时好时坏，精神问题成了纠缠康托尔后半生的阴影。康托尔并不是一个阴暗被动的人，他一直在积极地自救，他喜爱哲学、文学、音乐，试过在人文艺术中寻求安宁，他也去哈尔茨山调养过，甚至试过主动找克罗内克和好，希望能求同存异，解开心结。

这些办法究竟有多大的作用，我们无法深究，我们只知道一件事：状态良好的时候，康托尔还会坚持研究数学，尽管他并不清楚自己的课题是否还能获得广泛的认可和重视。

04 康托尔建立的乐园

1897年，康托尔的人生迎来了转机。在世界第一届数学家大会上，曾经教导过希尔伯特和闵可夫斯基的赫尔维茨公开表达了对康托尔的敬意。康托尔本人也参加了这次大会，他在会上重拾了和戴德金的友谊。在此之前，他已经开始和希尔伯特通信探讨学术问题。

反对的声音少了，钦佩的目光多了，康托尔多年的坚守似乎终于要迎来胜利了。但久病已成顽疾，再加上晚年赶上了第一次世界大战，物质条件急转直下，康托尔的情况越来越差，最终于1917年在休养院去世。

康托尔去世之后的声望远高于生前。现在，人们认为包括他在内的一批数学家理清了涉及无穷的多个概念，化解了第二次数学危机，而康托尔又是他们中间格外值得纪念的一位。

我们只要认真回想一下自己在大学甚至高中学过的数学知识，就会明白，集合论的思想已经渗透到了数学的方方面面，成为了基石一般的存在。

那些富有传奇色彩的数学新方向更是同集合论关系紧密。远山启有过这样一段有趣的总结——「抽象代数为集合引入了被称为结合的互相关系，而拓扑学研究的则是集合在某种意义上的远近关系。」

这些数学门类似乎总会呈现一些奇怪的规则和结论，但只要你耐心琢磨，就会发现其中的逻辑之美，而它们在现代科学研究和工程应用中的角色更是不可小觑。

这一切的背后，正是康托尔为现代数学打下的基础。从这个意义上讲，康托尔的集合论本身就是一个聚宝盆，尽管它并没有让康托尔像传说中的沈万三一样风光富贵，反倒还带给他不少磨难。

康托尔有一句名言：「数学在本质上是自由的。」很多人猜测，这就是支持他的信仰。远山启也曾感叹这句话中的无穷滋味。

在数学这样一个强调逻辑的学科中，自由到底意味着什么呢？现代数学还有哪些不得不提的故事？除康托尔之外，这条路上还有哪些智者的足迹？我们如何了解和欣赏拓扑、非欧式几何、群论等等数学成果中的思想？

这些问题当然无法用一两句话、一两篇文章说清楚，于是远山启写了一系列书。

《数学与生活(修订版)》以生动有趣的文字，系统地介绍了从数的产生到微分方程的全部数学知识，包括初等数学和高等数学两方面内容之精华。这些知识是人们今后从事各种活动所必须的。书中为广大读者着想，避开了专用术语，力求结合日常逻辑来介绍数学。读来引人入胜，枯燥之感。从中不但可得益于数学，而且还可学到不少物理、化学、天文、地理等方面的知识。

《数学与生活2 》为日本数学教育议会创立者远山启的数学教育科普作品。书中通俗解读了数学教育中的重点、难点知识，用直观的方式梳理了“量与数”“集合与逻辑”“空间与图形”“变数与函数”的知识体系，并结合作者多年的教学与研究经验，向读者传授了独创的教学方法与学习技巧，引导学习者掌握具有发展性的思考方法，真正从原理上理解数学知识。

《数学与生活3》不懂音符、乐理的人也能欣赏音乐，甚至可以成为音乐鉴赏家。不懂数学公式的人，是否也能理解现代数学的体系与思考方法，领略其中令人惊叹的超越性美景呢？

上文转自图灵教育，作者喵头鹰同学。[遇见]已获转发授权