范畴论：数学背后的数学

在19世纪末，数学经历了一次彻底的转变。在大卫希尔伯特等人的带领下，一群新生代数学家对抽象思想更感兴趣，而不是专注于解决实际问题。这种哲学上的差异最初因缺乏实用性而饱受批评，但却导致了大量有趣的结果，其中之一就是范畴论。

• 大卫希尔伯特

范畴论最初是在20世纪40年代由塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克·雷恩发展起来的，他们试图创造一种通用语言，可以应用于任何数学领域。范畴论强调的是对象之间的关系，而不是精确的定义。这可以在各种看似不相关的概念之间建立起令人着迷的联系。范畴论的两个主要方面是范畴和函子。让我们看看这两个是什么。

一个范畴被定义为在它们之间有形态的对象的集合。这是非常广泛的，一些例子将帮助更好地理解！

• 范畴集是所有集合的集合而态射是在这些集合之间的函数。
• 范畴群是所有群组的集合，而态射则是这些群之间的群组同态。
• 范畴向量(K)是向量空间的集合（在场K之上）而态射是这些向量空间之间的线性变换。

希望这三个例子能让你明白范畴论有多广泛，我们已经在三个主要的数学领域看到了范畴论例子！

在这个定义中，我省略了一些细节。首先，一定要有一种同一性形态，它把每一个物体都当成它自己。二是构成元素的性质。这意味着一个范畴内的态射必须是可组合的。我们可以很容易地通过函数组合来考虑集合类别中的这个概念。例如，如果我们有两个函数：

然后我们可以组合这些函数来给出：

范畴论的第二个主要方面是函子。这些是类别之间的映射，所以函子必须告诉我们如何将一个类别的对象和形态映射到另一个类别。函子必须满足态射合成，并将输入类别的同射映射到输出类别的同射。

希望你们能看到函子有多强大。有各种各样的标准函子，它们可以让我们深入了解数学的不同方面。我将在这里给出一个基本的，但更多可以在最后的建议阅读中找到。

可遗函子将“忘记”原始对象的一些属性。当这个函子从组到集合时，它将每个组映射到包含该组元素的集合。每个组同态都映射到一个函数，该函数将域组中的元素引入到图像组中的元素。下面是一个可遗函子的例子。

为了使事情更加抽象，我们可以看函子的类别，并检查函子之间的函子。这可以重复进行，而这种类别的“分层”被称为更高的范畴理论。与范畴函子一起作用已经产生了令人着迷的结果，例如米田引理引理。诸如此类的研究让数学家诺曼·斯汀罗德称之为“抽象的废话”。

鉴于它的广度，范畴论已经进入了一个广泛的领域，如理论物理，计算理论，和资源理论。这仍然是一个年轻的领域，有很多可待挖掘。