第06讲 典型例题与练习参考解答：数列极限判定的基本方法

本文对应推文内容为：

第06讲基本方法

例题与练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1 ：某城市2010年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年汽车保有量的6%，并且假设每年新增汽车的数量相同. 为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，试问这样的目标能不能实现？如果可以，则每年必须控制新增汽车数量不应超过多少辆？

练习2 ：设 , ，证明{ }和{ } 的极限存在，并求出它们的极限值．

练习3 ：试问 为何值时，以下结论成立.

练习4：试用夹逼定理证明：

练习5：设 为常数，证明 ．

练习6 ：求如下极限：

练习7 ：设数列 由以下关系式确定：

证明数列 存在极限，且

练习8 ：设数列 由以下关系式确定：

0\;,\;{x_{n + 1}} = {{3(1 + {x_n})} \over {3 + {x_n}}}\;,n = 1,2,3, \cdots " data-formula-type="block-equation">

证明此数列有极限，并求极限值．

练习9 ：设数列 由如下关系式确定：

证明该数列存在极限，并求极限值.

练习10 ：已知数列 有界，且

其中 为正整数，证明数列 收敛.

练习11 ：已知 为正整数，且

证明数列 发散.

【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

例题与练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1 ：某城市2010年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年汽车保有量的6%，并且假设每年新增汽车的数量相同. 为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，试问这样的目标能不能实现？如果可以，则每年必须控制新增汽车数量不应超过多少辆？

【参考证明】：设从2010年末开始每年汽车的总量为 万辆，每年新增汽车 万辆，则

假设 ，则由递推关系式可得

验证如下：

要实现汽车总量不超过60辆的目标，就相当于 小于等于60，因此可得 要小于等于3.6万辆. 也就是说当 取3.6时，数列 的极限应该为60. 以上极限存在性的验证过程不仅验证了数列 极限的存在性，并且看到当=3.6 时，数列 的极限确实就等于60。说明该城市制定的方案是可行的，目标是可以实现的.

练习2 ：设 , ，证明{ }和{ } 的极限存在，并求出它们的极限值．

【参考证明】：令 , ，则

则由题设可知{ }和{ } 均存在极限，且有

另一方面，

所以{ }和{ }的极限存在，且有

练习3 ：试问 为何值时，以下结论成立.

【参考证明】：当 时，结论显然成立. 当 时，改写极限式中的表达式，有

故当 时结论成立.

【注】：这个题目也是第十届全国大学生数学竞赛初赛非数学类竞赛试题的一个填空题. 在该套试题的视频解析课程中，通过五个视频片段讨论了这个题目的8种解题思路，具体涉及到数列极限计算常用的方法与基本解题思想，如定义法、四则运算、变量替换、海涅定理、夹逼准则、单调有界原理、等价无穷小、洛必达法则、泰勒公式、中值定理以及Stolz公式等。具体可以参见咱号配套的在线课堂中的视频解析.

练习4：试用夹逼定理证明：

【参考证明】：放缩表达式，有

不等式两端求极限，都

故由夹逼定理得

练习5：设 为常数，证明 ．

【参考证明】：令 ，只需证明 ．一方面， ；另一方面，由 有 ．由二项式定理并注意 ，有

1 + n{h_n} \cr} " data-formula-type="block-equation">

由此得 ，即

而 ，所以，由夹逼定理知 ．即结论成立.

【注】：由极限的四则运算可知，当00都有以上结论成立.

练习6 ：求如下极限：

【参考证明】：改写极限式，并由极限运算法则，得

练习7 ：设数列 由以下关系式确定：

证明数列 存在极限，且

【参考证明】：由题设可知数列为正项数列，且由算术-几何平均值不等式，得

\sqrt {{a_n} \cdot {1 \over {{a_n}}}} > 1 \cr} " data-formula-type="block-equation">

故数列有下界. 又当 ，由递推关系式，得

即 ；假设 时， ，则当 时，因 ，有

即数列 单调递减，即数列 单调递减有下界，故由单调有界原理知数列 存在极限.

设 ，则由极限的保号性，知 . 对递推关系式两端取极限，得

解关于 的方程，得 或 (舍去). 即

综上可知原题所需验证的结论都成立.

【注】：对于单调性的判定也可以应用比值法直接得到. 即由 知

即 ，故数列单调递减.

练习8 ：设数列 由以下关系式确定：

0\;,\;{x_{n + 1}} = {{3(1 + {x_n})} \over {3 + {x_n}}}\;,n = 1,2,3, \cdots " data-formula-type="block-equation">

证明此数列有极限，并求极限值．

【参考证明】：若数列极限存在，设为 ，则利用极限四则运算性质有

解得 ，由 ，可知 . 下面证该值就是数列的极限值.

所以 .

练习9 ：设数列 由如下关系式确定：

证明该数列存在极限，并求极限值.

【参考证明】：通过分析数列 的前几项的值：

即

发现数列不具有单调性. 由于 ，从而由递推关系式，可得到 ，进一步可以推出

即可以判定数列有界. 另外，容易看到

于是猜想奇数项构成数列，偶数项构成数列分别具有奇偶性.

【思路一】：借助于数列的递推关系式，可得

(1)对数列 ，有

借助于递推关系式，可得

所以由数学归纳法可得数列 单调递减，又由于有界，所以极限存在。从而有

(2)对数列 ，有

{x_2} = {1 \over 2}, " data-formula-type="block-equation">

借助于递推关系式，可得

所以由数学归纳法可得数列 单调递增，又由于有界，所以极限存在，从而有

由于 和 分别为数列 的奇数项构成的子数列和偶数项构成的子数列，它们的极限存在并且相等，所以由数列极限的拉链定理，可得原数列极限存在，并且就等于它们的极限值，即

【思路二】设数列的极限存在且等于 ，则由极限的性质与运算法则，并且得到的极限范围，可知 ，于是有

下面基于递推关系与夹逼定理证明

要证明上式成立，只要证明

如果能够证明

则由夹逼定理也就证明了上面的结论。于是由递推关系式及上面计算 的等式(1)，可得

所以有

于是由夹逼定理，得

【注】 ：更多思路参见后面推荐阅读推文！

练习10 ：已知数列 有界，且

其中 为正整数，证明数列 收敛.

【参考证明】：由题设可知，存在 ，使得

且对于任意 ，有

于是对 ，取 ，则当 时，对于 ，都有

成立. 于是由柯西收敛准则知数列 收敛.

练习11 ：已知 为正整数，且

证明数列 发散.

【参考证明】：分别取 ，则有

由此可见，当取 时，对任意 ，当 时，取 ，则不等式

不成立. 故由柯西收敛准则知数列 不收敛，即发散.

关于数列极限的判定典型例题与思路、方法除了参见“每日一题”中的典型问题外，也可以参见如下专题：