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第05讲
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1 ：用数列极限的定义证明：
练习2：用数列极限的定义证明：
练习3：用数列极限的定义证明：
练习4：用数列极限的定义证明：
1} \right). " data-formula-type="block-equation">
练习5 ：证明柯西极限命题：算术平均值极限.
练习6：若 ，证明：
练习7：设 ，用定义证明数列 发散．
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1 ：用数列极限的定义证明：
【参考证明】：第一步：任取 .
第二步：放大、简化绝对值不等式
第三步：解关于变量 的不等式 ，得 .
第四步：取 描述结论：
【 ，取 ，则当 时，
恒成立，所以
】
【注】：其实证明过程只需要【】里面的过程就可以了，因为根据定义，只要对于任意给定的正数 ，能够找到一个 （取到即存在），让不等式在 恒成立即可. 所以前面三步其实是探索、寻找 的过程.
练习2：用数列极限的定义证明：
【参考证明】：将 和 展开，得
令 . 故 ，取 ，则当 时，由上面的不等式可知
恒成立，所以由数列极限的定义可知结论成立.
练习3：用数列极限的定义证明：
【参考证明】：由 ，故由几何-算术平均值不等式，有
令 . 故 ，取 ，则当 时，由上面的不等式可得
恒成立，所以由数列极限的定义可知结论成立.
练习4：用数列极限的定义证明：
1} \right). " data-formula-type="block-equation">
【参考证明】：令 ，则
{1 \over 2}n(n - 1){\lambda ^2} \cr} " data-formula-type="block-equation">
取倒数并两端乘以 ，得
令 . 故 ，取 ，则当 时，由上面的不等式可得
恒成立，所以由数列极限的定义可知结论成立.
练习5 ：证明柯西极限命题：算术平均值极限结论：
【参考证明】：由题设可知，
0,\exists N \in {Z^ + },\forall n > N " data-formula-type="block-equation">
恒有 ，且可得
其中 为一个确定的常数. 令 ，则对上面给定的 ，当 时，有
所以由数列极限的定义可知结论成立.
【注1】：对于任意取定的 ，取定 后，则 为常数， 在大于 的范围内任意变化取值. 我们知道有限项数列和的极限等于其极限之和，那么当所求的极限的项目随着 变化时，这个结果就不成立了。解决这个问题的思想是固定一个 ，分段来进行证明。这个思想在高等数学的很多证明中都会看到。
【注2】：这个极限结论在没有需要特别证明的情况下，说明名称和结论可以直接应用解题.
练习6：若 ，证明：
【参考证明】：由题设可知 ，且
N " data-formula-type="block-equation">
有 ，即
解得
故由极限的定义，可知结论成立.
练习7：设 ，用定义证明数列 发散．
【参考证明】：假设数列存在极限 ，则由定义： ，当 时，恒有
由于 仅取值 ，所以当 分别取大于 的偶数和奇数时，分别有
和
于是由三角不等式，得
从而 ，此与 的任意性矛盾，因为定义中 是任意正数，它可以任意小．因此，所给数列不存在极限，即发散．
【注】：或者直接 ，则导出矛盾 ，从而假设不成立.
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