在线计算专题(10)：线性代数行列式、矩阵的基本运算与性质的判定

　　本文将以实例的形式，基于Wolfram Alpha计算搜索引擎，将介线性代数中行列式的计算，代数余子式与行列式展开、矩阵的基本运算，矩阵的求逆与伴随矩阵、单位矩阵与对角矩阵特殊矩阵的描述以及矩阵的秩、迹和矩阵方程的等相关问题的求解和相关结论的验证实现方法.

　　目录：

　　1、行列式的计算

　　2、代数余子式及行列式展开

　　3、矩阵的乘法运算与矩阵的幂

　　4、矩阵的数乘运算与转置

　　5、矩阵的求逆与伴随矩阵

　　6、单位矩阵与对角矩阵的描述及相关计算

　　7、矩阵的秩与迹

　　8、求解矩阵方程

　　工具：WolframAlpha计算搜索引擎

　　位置：http://www.wolframalpha.com，打开网页直接操作，其中windows app也可以通过Windows 10应用商店下载安装！

　　特别提示：如果使用网页版执行操作，不需要下载、安装任何软件，也不需要点任何链接，直接网页打开的那个搜索文本编辑框(如下图)输入表达式就可以了！系列推文中除特别强调外，显示的结果都能直接看到的！

　　手机：可以直接打开网页操作，或者自行网络搜索下载安装WolframAlpha APP版本操作

　　执行界面：网页、手机或平板等操作界面基本一致.

　　1、行列式的计算

　　例1 计算以下行列式.

　　参考输入表达式为

　　det {{a^2,a b,b^2},{2a,a+b,2b},{1,1,1}}

　　执行计算得到的结果如下.

　　例2 计算以下行列式.

　　参考输入表达式为

　　det {{1,1,1,1},{1,2,-1,4},{2,-3,-1,-5},{3,1,2,11}}

　　执行计算得到的结果显示如下.

2、代数余子式及行列式展开

　　例 设下列行列式 的 元的代数余子式为 ，计算 的代数余子式构成的矩阵，并分别计算

　　其中

　　计算代数余子式的参考输入表达式为

　　cofactor {{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{1,3,-2,2},{1,-5,3,-3}}

　　执行计算得到的结果显示如下.

　　从结果中可以知道，

　　又因为

　　所以输入参考表达式为

　　{1,3,-2,2}.{16, 8, -40, -48}

　　计算结果为 ，也即按照第三行展开计算原行列式的值. 可以直接计算行列式得到行列式就等于 . 为计算

　　{-5,1,3,-4}.{16, 8, -40, -48}

　　计算结果为 . 以上两个计算结果即验证了行列式按行展开的定理与推论. 即行列式等于它的任一一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和，行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于 .

　　3、矩阵的乘法运算与矩阵的幂

　　例1 求下列两个矩阵的乘积 .

　　参考输入表达式为

　　{{2,1,4,0},{1,-1,3,4}}.{{1,3,1},{0,-1,2},{1,-3,1},{4,0,-2}}

　　执行计算得到的结果显示如下.

　　例2 对于以下两个矩阵，计算 , ，由此可得出什么结论呢？

　　参考输入表达式为

　　{{1,2},{1,3}}.{{1,0},{1,2}},{{1,0},{1,2}}.{{1,2},{1,3}}

　　执行计算得到的结果显示如下.

　　分别计算得到

　　说明矩阵的乘法一般不符合交换律.

　　例3 求矩阵 ，其中

　　参考输入表达式为

　　matrixpower({{\lambda,1,0},{0,\lambda,1},{0,0,\lambda}},n)

　　其中\lambda用于输入 ，特殊符号和希腊字母等加上斜杠和读音一般就可以直接输出相应的符号，执行计算得到的结果显示如下.

4、矩阵的数乘运算与转置

　　例 计算 和 ，其中

　　计算 的参考输入表达式为

　　2{{1,2,3},{5,1,2},{3,6,-1}}.{{3, 2, 3}, {-1, 2, 4}, {1, 5, -6}}-3{{3, 2, 3}, {-1, 2, 4}, {1, 5, -6}}

　　执行计算得到的结果显示如下.

　　计算 的参考输入表达式为

　　(transpose {{1,2,3},{5,1,2},{3,6,-1}}).{{3, 2, 3}, {-1, 2, 4}, {1, 5, -6}}

　　执行计算后的结果如下.

5、矩阵的求逆与伴随矩阵

　　例 求 ，并验证 ，其中 ， 为行列式 中的 元的代数余子式. 其中

　　直接求逆矩阵的参考输入表达式为

　　inverse {{1,2,-1},{3,4,-2},{5,-4,1}}

　　执行计算得到的结果显示如下.

　　验证 的参考输入表达式为

　　transpose(cofactor {{1,2,-1},{3,4,-2},{5,-4,1}})/(det {{1,2,-1},{3,4,-2},{5,-4,1}})

　　执行计算得到的结果显示如下.

　　计算得到的逆矩阵与直接计算逆矩阵结果一致.

　　6、单位矩阵与对角矩阵的描述及相关计算

　　例 设 ，求

　　其中

　　由已知可知 . 于是计算 的参考输入表达式为

　　{{1,1,1},{1,0,-2},{1,-1,1}}.diagonalmatrix({-1,1,5}).(Inverse {{1,1,1},{1,0,-2},{1,-1,1}})

　　其中diagonalmatrix({-1,1,5})表示对角元为 的对角矩阵. 执行计算得到的结果显示如下.

　　将鼠标移动到结果矩阵上面，在右下角出现的链接按钮Plain Text上点击鼠标左键，在出现的表达式文本中点击下面的文本输出，将结果矩阵复制到剪贴板中，如上图. 然后依据需要计算的公式

　　基于矩阵幂计算函数，参考输入表示为

　　(matrixpower({{1, -2, 0}, {-2, 3, -2}, {0, -2, 1}},8)).(5 identitymatrix(3)-6{{1, -2, 0}, {-2, 3, -2}, {0, -2, 1}}+matrixpower({{1, -2, 0}, {-2, 3, -2}, {0, -2, 1}},2))

　　其中identitymatrix(3)表示生成3阶单位矩阵，执行计算得到的结果显示如下.

　　7、矩阵的秩与迹

　　例 求矩阵 的秩与迹，其中

　　参考输入表达式为

　　rank {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}

　　执行计算得到的结果显示如下.

　　结果不仅给出秩为 ，而且分别给出了矩阵的列向量、行向量基空间与正交基描述.

　　输入如下表达式

　　trace {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}

　　执行计算后得到矩阵的迹为 . 输入表达式

　　trace {{a, b, c}, {d, e, f}, {h, i, j}}

　　则计算得到结果显示如下

　　即矩阵的迹为对角线上元素的和.

　　8、求解矩阵方程

　　例1 设 ，求 ，其中

　　改写题中等式，可得

　　所以参考输入表达式为

　　inverse({{0,3,3},{1,1,0},{-1,2,3}}-2 identitymatrix(3)).{{0,3,3},{1,1,0},{-1,2,3}}

　　执行计算得到的结果显示如下.

　　例2 求 ，使得 ，其中

　　改写题中等式，可得

　　所以参考输入表达式为

　　inverse({{4,1,-2},{2,2,1},{3,1,-1}}).{{1,-3},{2,2},{3,-1}}

　　执行计算得到的结果显示如下.