还有没有比复数更高级的数及好玩游戏？如何理解，愿你不再掉头发

相信大多数对图论有所了解的读者都对哈密顿这个名字并不陌生。“哈密顿链”、“哈密顿环”可以是图论问题中的一个大类。而对于哈密顿本人，尽管不如费马，高斯那样如雷贯耳，但你是否知道他曾与拉格朗日相提并论，被惊叹“第二位牛顿已经出现”。

接下来的这篇文章，能让读者们对哈密顿此人的一生，有着更为详尽的认识。

哈密顿（Hamilton,willinaRowan,1805—1865），又译哈密尔顿，是英国的数学家及物理学家。他生于爱尔兰的都柏林，3岁识字，14岁学会了12种语言。12岁读完了拉丁文的欧几里得的《几何原本》，13～17岁研究牛顿和拉普拉斯的著作。1823—1827年在剑桥大学三一学院学习，1827年成为都柏林大学天文学教授，兼该校天文台台长。是英国皇家学会会员和法国科学院院士。

01光线系统理论

二十三岁时哈密顿便完善了他关于光线系统的研究，并以此发表了《光线系统理论》的第一部分，之后又于二十七岁时将整篇《光线系统理论》补完，完成了哈密顿将光学原理扩展到整个动力学的抱负。

这篇《光线系统理论》可以算是哈密顿一生做出的最伟大的贡献之一。这篇杰作让雅克比在1842年的英国协会会议上宣称“哈密顿是你们国家的拉格朗日（这里的你们国家指将英语的民族）”，而这份《光线系统理论》在光学领域中更是有着如同《分析力学》之于力学般划时代的意义。

很多人认为哈密顿的《光线系统理论》是他一生中事业的顶点，但哈密顿本人显然并不这样认为，他认为他的另一项研究才是他最伟大的杰作，并且是值得令他不朽的杰作，这便是哈密顿于1842年做出的重大发现——四元数。

02哈密顿的四元数，本质高阶复数

哈密顿在数学上的成就，主要在微分方程理论和泛函分析方面。他也是冲破传统代数关卡的勇士，写下了《四元数基础》（1886）名著。

下面介绍一下他创造四元数的趣事。

大家知道，代数学有各种运算律。比如：

（1）a b=b a，加法交换律；

（2）a×b=b×a，乘法交换律；

（3）（a b） c=a （b c），加法结合律；

（4）（a×b）×c=a×（b×c），乘法结合律；

（5）a×（b c）=a×b a×c，乘法对加法的分配律。

对于19世纪初的数学家，要说存在一种代数，保持如上某些运算律，而不保另一些，这是不可思议的。作为哈密顿，自然也受着这种束缚。但是，在1843年，出于实际的考虑，他发明了一种不符合乘法交换律的代数。抛弃交换律这个根本性的一步，对哈密顿来说得来不易。他是在对特殊问题作了多年的深思熟虑之后才果断地采取的。

由于复数a bi完全由a、b两个实数决定，哈密顿果断地用有序实数对（a,b）表示复数。这样，以前笼罩在复数上的神秘气氛被排除了。

哈密顿继续想，不把复数嵌入有序实数对（a,b）中，而是把实数和复数都嵌入有序实数四元组（a,b,c,d）中，需定义（a,b,c,d）=（e,f,g,h），当且仅当，a=e,b=f,c=g,d=h.

哈密顿发现：为了多种目的，必须为四元组的加法和乘法作如下定义：

（a,b,c,d） （e,f,g,h）=（a e,b f,c g,d h），

哈密顿称这样的有序实数四元数组为（实）四元数。

按照如上定义的四元数的加法和乘法法则，可以自行验证，普通代数中的运算律，只有乘法的交换律不成立。

如果用符号1,i,j,k分别表示四元单位（1,0,0,0），（0,1,0,0），（0,0,1,0）（0,0,0,1），那么，不难找到乘法是依下列乘法表进行的：

关于哈密顿抛弃乘法交换律思想的产生有个故事：“哈密顿经过十五年无效的沉思之后，在接近黄昏的时候，他与妻子在靠近都柏林的皇家运河边散步时出现了一闪念。这个思想违反传统观念，他很激动而震惊，于是取出削铅笔刀，把如上乘法表的要旨刻划在布鲁哈姆桥的一块石头上。为了纪念这个数学史上的里程碑，后人在该桥的这块石头上镶嵌了一块水泥板，上面有关于这个故事的记载：

1843年10月16日哈密顿爵士曾散步于此，关于四元数乘法的基本公式（i^2=j^2=k^2=ijk=-1）的天才发现来源于那时的一闪念。他还将它刻于此桥的一块石头上。

哈密顿的四元数曾有一个时期受到许多人的欢迎，认为他是未来物理学家们必不可少的工具；然而，现在早已成为数学史上一项很有趣的古董；它已经被灵活、方便的向量分析所取代。四元数之所以出名，就在于它推倒了传统代数的关卡，这种勇敢精神才赢得了数学史上里程碑的荣誉。

用四元数可以表达空间的转动，它融合矢量算法、复数算法、指数算法、矩阵算法以及对偶数算法等于一身，在现代控制理论与技术，如在陀螺自控、导航系统、机器与结构、机器人技术、多体力学系统、人造卫星姿态控制等领域有着广泛的应用，在计算机科学、高速车辆、运载工具、复杂机械工业技术等方面也都有重要的应用。他发现了四元数并建立四元数的运算法则。提出的哈密顿方程和哈密顿函数已量子力学方程的重要部分。

03哈密顿圈

公元1856年，哈密顿发明了一种极有趣的“周游世界”的游戏，当时曾经风靡一时。在游戏中，哈密顿用一个正十二面体的20个顶点，代表我们这个星球上的20个大城市（如图1）。游戏要求：沿着正十二面体的棱，从一个“城市”出发，经过每个“城市”恰好一次，最后回到原出发点，注意，所经过的棱不许重复。

周游世界的解后来被称为哈密顿圈，它并不难求，但极有意思。它的解不是唯一的，求解的方法也有多种。读者可以自己先画一个正十二面体的平面拓扑图，在图上试试看，说不定很快就能找到一个哈密顿圈。如果找不到，下面给你提供一个寻找哈密顿圈的方法。

在平面拓扑图上任取一点作为出发点。如图2选A为出发点，沿棱前进到某一顶点时，有左拐和右拐两条路。倘若周游的路线是向右拐的，我们便在这个顶点旁标以“ ”的记号；倘若周游路线是向左拐的，则作“-”的记号。按照→A , , ,-,-,-, ,-, ,-, , , ,-,-,-, ,-, ,-→A便找到了一条哈密顿圈。由于这是一个循环系统，沿任何一点出发，出发点任选一个符号，均能找到一个哈密顿圈。

哈密顿周游世界的游戏无疑能够移植到任意的多面体上来。不过，并不是所有的平面脉络都存在哈密顿圈，图3便是一个不存在哈密顿圈的例子。

我们一起来试试看正四面体、正六面体、正八面体、正二十面体等有没有哈密顿圈？下面是他们的平面拓扑图，用笔连一连。

哈密顿周游世界游戏不但在图论中具有重要意义，而且吸引着很多数学家研究，至今还没有找到一个图有哈密顿圈的充要条件。另外，寻找路程最短的哈密顿圈问题就是运筹学中著名的“销售员问题”，这是一个超级大难题，至今很多科学家仍在研究。哈密顿问题其最大魅力在于，世界上的很多数学家，经过了一百多年的研究，至今还没有找到一个图有哈密顿圈的充要条件

哈密尔顿在曲线和曲面的性质方面也有着一些贡献，而最重要的是在光学方面的成就。哈密尔顿将几何光学转变为数学问题并且提出了一个方法解决了这个问题。哈密尔顿曾将时间考虑为终点的函数，并且证明这种量将跟随终点坐标的变化而变化。